巨大数で遊ぼう！ ～Third season～

第３話 ω番地数列

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　■　ω番地数列　■

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　■ω番地数列の定義

　　📌　無限個ある任意の「𝐱番地数列」の総称が「ω番地数列」である。

　■𝐱番地数列の定義

　　📌「任意の𝐱番目の素数𝐩」と「素数𝐩の１以上の整数乗の合成数」を小さい順に並べた数列が「𝐱番地数列」である。

　■記号の再定義

　　📌「任意の𝐱番目の素数𝐩」と「素数𝐩の１以上の整数乗の合成数」の、その全ての集合を「ℙᴾᴼᵂᴱᴿ」とし、自然数の十進記数法の全ての集合を「𝑆ℕ」とし、「ℙᴾᴼᵂᴱᴿ」の要素を表ような「𝑆ℕ」全体の集合、つまりそのような「𝑆ℕ」部分集合を「𝑆ℙᴾᴼᵂᴱᴿ」とし、

　　　𝑆ℙᴾᴼᵂᴱᴿの任意の要素を「🍓ᵃ」と置き、

　　　🍓¹ : 𝐩

　　　🍓ᵃ : 𝐩の𝐚乗

　　　𝑆ℙᴾᴼᵂᴱᴿと自然数の対応を写像ℳ₃₀で再定義する。

　　　🍊

　　　ℳ₃₀: 𝑆ℙᴾᴼᵂᴱᴿ ⟼ ℕ

　　　[🍓ᵃ ]⟼ℳ₃₀[🍓ᵃ ]

　　　ℳ₃₀[🍓ᵃ]= 𝐚-1

　　　このとき、ℙᴾᴼᵂᴱᴿの要素は、任意の自然数𝐧を🍓ⁿ⁺¹と表記する。

　■素冪数の定義

　　📌　𝐱 ≧２を満たす任意の𝐱番地数列の数全体の集合をℙᴾᴼᵂᴱᴿ ᴼᴰᴰと記す。集合ℙᴾᴼᵂᴱᴿ ᴼᴰᴰの要素を素冪数と呼ぶ。

　■素冪数の表記

　　📌　素冪数は集合𝑆ℙᴾᴼᵂᴱᴿの要素で記す。

　■素冪数を示す記号

　　任意の素数を以下の記号で表す。

　　📌　Pᵪ¹

　　・下付き文字は「𝐱番目の素数」を意味し「𝐱」は２以上の整数である。

　　・「１番目の素数」は「２」である。

　　・「𝐚番目の素数」は「𝐚 -１番目の素数」よりも大きな最小の素数である。　

　　任意の素冪数を以下の記号で表す。

　　📌　Pᵪʷ

　　・上付き文字は「Pᵪ¹の𝐰乗」を意味し𝐰は正整数である。

　　・全ての素冪数は「番地」を持ち、任意の素冪数𝓐の「番地」は、𝓐を「Pᵪ¹」と記したときの「𝐱番地」である。

　■加法の定義

　　「素冪数」よる加法を「自然数」による加法に対応させるため、以下に計算規則を定める。

　　📌　Pᵪʷ+Pᵪʰ = Pᵪʷ⁺ʰ⁻¹　

　　🔰計算例

　　・3 + 3 = 3　

　　・9 + 3 = 9 　

　　・9 + 9 = 27　

　■素冪数の大小関係

　　📌　任意の番地の最小の素冪数は「Pᵪ¹」である。

　　📌　「Pᵪ¹」は「𝓨₀」の要素である。

　　📌　任意の番地の「Pᵪ¹」の有限個の和で到達できない最小の素冪数が「Pᵪ²」である。

　　📌　「Pᵪ²」は「𝓨₁」の要素である。

　　📌　任意の番地の「Pᵪʷ」よりも大きな最小の素冪数はPᵪʷ+Pᵪ²である。

　　📌　素冪数においては任意の「Pᵪʷ」と「Pᵪ₊ₐʰ」についてその大小関係は未定義である。

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　■　ω番地数列の例　■

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　　🔰一番地数列　P₁ʷ

　　一番目の素数を使った「２ʷ」を、小さい順に並べた数列である。この一番地数列については、初音ミクの要素を表記に与えるため使用しない。

　　・2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,…∞

　　🔰二番地数列　P₂ʷ

　　　二番目の素数を使った「３ʷ」を小さい順に並べた数列である。

　　・3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,…∞

　　🔰三番地数列　P₃ʷ

　　　三番目の素数のを使った「５ʷ」を小さい順に並べた数列である。

　　・5,25,125,625,3125,15625,78125,390625,1953125,9765625,…∞

　　🔰四番地数列　P₄ʷ

　　　四番目の素数のを使った「７ʷ」を小さい順に並べた数列である。

　　・7,49,343,2401,16807,117649,823543,5764801,40353607,282475249,…∞

　　🔰五番地数列　P₅ʷ

　　　五番目の素数のを使った「１１ʷ」を小さい順に並べた数列である。

　　・11,121,1331,14641,161051,1771561,19487171,214358881,2357947691,25937424601,…∞

　　🔰𝐱番地数列　Pᵪʷ

　　　𝐱番目の素数のを使った「Pᵪʷ」を小さい順に並べた数列である。

　　・Pᵪ¹,Pᵪ²,Pᵪ³,Pᵪ⁴,Pᵪ⁵,Pᵪ⁶,Pᵪ⁷,Pᵪ⁸,Pᵪ⁹,Pᵪ¹⁰,…∞