巨大数で遊ぼう！ ～Third season～

第４話 コア数

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　■　コア数　■

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　■コア数の定義

　　📌　任意の番地のPᵪ²の有限個の和で到達できない数のうち𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬの要素である数がコア数である。

　■コア数の表記の構成「𝓐表記」

　　写像ℳ₄₀を以下に定義する。

　　🍊

　　ℳ₄₀:ℤ₊→𝕊

　　𝐚⟼ℳ₄₀[𝐚]

　　ℳ₄₀[1] = ⁅Pᵪʷ⁆　

　　ℳ₄₀[𝐮] = ℳ₄₀[𝐮-1], ⁅Pᵪʷ⁆

　　🔰展開例

　　・ℳ₄₀[4]=

　　　ℳ₄₀[3],Pᵪʷ=

　　　ℳ₄₀[2],Pᵪʷ,Pᵪʷ=

　　　ℳ₄₀[1],Pᵪʷ,Pᵪʷ,Pᵪʷ=

　　　Pᵪʷ,Pᵪʷ,Pᵪʷ,Pᵪʷ

　　📌　𝓐表記は、ℳ₄₀の値域の任意の要素を𝓐としたとき、必ず(𝓐)に該当するような、「0」「1」「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「(」「)」「,」のみの支持体から成る文字列である。この𝓐表記の「Pᵪʷ」は自在である。また、その「Pᵪʷ」のある部分を「項」と呼ぶ。

　　🔰𝓐表記の例

　　・(3,3,3,3,3,3)　⭕️

　　・(3,3,3,3,3,)　❌

　　・(,3,3,3,3,3)　❌

　　・(3,,3,3,3,3,3)　❌

　■コア数の表記の構成「𝓑表記」

　・𝓐表記であるような(𝓐)を「(𝓐’)₀」もしくは「(𝓐)₀」と置く。

　・この「(𝓐’)₀」と「(𝓐)₀」は自在である。

　・(𝓐’)₀の項の要素は「Pᵪʷ」である。

　・(𝓐’)₀の項の個数が２個以上のときに限り、その任意の項が持ちうる要素を以下のように拡張する。

　　❶　Pᵪʷ

　　❷　(𝓐)₀の有限個の和

　　❸　(𝓐)₀とPᵪʷとの有限個の和

　　・記号「𝓐」の示す情報体の支持体は「0」「1」「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「(」「)」「,」に拡張される。それら項にある数は全て自在である。

　　・これを「(𝓐)₁」と命名する。

　　・このとき任意の(𝓐)ᵨを考える。任意の(𝓐)ᵨとは、(𝓐’)₀の項の個数が２個以上のときに限り、その任意の項が持ちうる要素を以下のように拡張したものである。

　　❶　Pᵪʷ

　　❷　(𝓐)ᵨ₋₁の有限個の和

　　❸　(𝓐)ᵨ₋₁とPᵪʷとの有限個の和

　　📌　𝓑表記は、全ての「(𝓐)ᵩ」であるような記号「𝓐」の情報体の集合を「𝓑」の記号で示すのであれば、必ず(𝓑)に該当するような、「0」「1」「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「(」「)」「,」のみの支持体から成る文字列である。

　■コア数の表記の定義

　　📌　コア数の表記は𝓑表記である。

　　🔰コア数の例

　　・(3,(3,(3)(3)))　⭕️

　　・(3,(3)(3))　⭕️

　　・(3,(3))　⭕️

　　・((3))　❌

　■項の番号

　　定義などの利便性を高めるために、以下の写像ℳ₄₁で、コア数の項に正整数の番号をふる。

　　🍊

　　ℳ₄₁:ℤ₊→𝕊

　　𝐚⟼ℳ₄₁[𝐚]

　　ℳ₄₁[1] = 第１項　

　　ℳ₄₁[𝐮] = 第𝐮項 , ℳ₄₁[𝐮-1]

　　🔰展開例

　　・(ℳ₄₁[4])=

　　　(第４項 , ℳ₄₁[3])=

　　　(第４項 , 第３項 , ℳ₄₁[2])=

　　　(第４項 , 第３項 , 第２項 , ℳ₄₁[1])=

　　　(第４項 , 第３項 , 第２項 , 第１項)

　　📌　(ℳ₄₁[𝐚])のとき第𝐚項となる項を最終項と呼ぶ。

　■コア数の番地の定義

　　📌

　　・如何なるコア数も番地を持つ。

　　・任意のコア数(𝓑)の番地は、その(𝓑)の第１項にあるPᵪʷの番地と同じである。

　　・任意のコア数(𝓑)の番地は、その(𝓑)の第１項にあるコア数の番地と同じである。

　■基底の番地

　　📌　任意のコア数(𝓑)が、コア数の構造にないのであれば、任意のコア数(𝓑)の番地「𝐱」が、任意のコア数(𝓑)の構造の基底の番地であり、𝐱番地の素数を「基底の素数」という。

　　📌　ただし、 コア数(𝓑)の構造にある付帯コア数Mk-IIについては、この限りではない。この付帯コア数Mk-IIについては別途記す。

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　■　コア数と加法　■

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　■(𝓑)と素冪数の和の表記

　📌　如何なる(𝓑)の和も単純並列で表す。

　📌　如何なる(𝓑)、または如何なる(𝓑)の単純並列とPᵪʷとの和も単純並列で表す。

　　　ただし、

　　　{𝓒...(𝓑)} + Pᵪ¹ 〓 𝓒...(𝓑)

　　　とする。

　■(𝓑)と素冪数の大小関係

　📌　最小の数がPᵪ¹である。

　📌　Pᵪ¹の有限個の和で到達できない最小の数がPᵪ²である。

　📌　Pᵪ²の有限個の和で到達できない最小の数が(Pᵪ¹)である。

　📌　(Pᵪ¹)は最小の「𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬ」の要素である。

　📌　如何なる(𝓑)も「𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬ」の要素である。

　📌　如何なる(𝓑)についても(𝓑)よりも大きな最小の数は(𝓑)Pᵪ²である。

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　■　コア数の構造と項　■

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　■コア数の「構造」の定義

　　📌

　　・任意のコア数「(𝓑)」の、コア数として許容される如何なる文字列「𝓑」も任意のコア数「(𝓑)」の構造である。

　　・任意のコア数「(𝓑)」の、「(𝓑)」と「加算の関係」にある如何なる数も、「(𝓑)」の構造には含まない。

　　・任意のコア数「(𝓑)₀」を構造に持つコア数「(𝓑)ᵨ」があるならば、「(𝓑)ᵨ」の構造の、「(𝓑)₀」以外の如何なる構造も、「(𝓑)₀」の構造には含まない。

　■コア数の「項」の定義

　　📌

　　・任意のコア数「(𝓑)」の、「(𝓑)」の構造にある如何なるコア数の項も、「(𝓑)」の項に含まない。

　　・任意のコア数「(𝓑)」の、「(𝓑)」と「加算の関係」にある如何なるコア数の項も、「(𝓑)」の項には含まない。

　　・任意のコア数「(𝓑)₀」を構造に持つコア数「(𝓑)ᵨ」があるならば、「(𝓑)ᵨ」の構造の、「(𝓑)₀」以外の如何なる構造にある項も、「(𝓑)₀」の項には含まない。

　■「項」と「構造」の差異

　　📌

　　・「(𝓑)」の構造にあるとは、「(𝓑)」の文字列の要素として存在するという事である。

　　・「(𝓑)」の項にあるとは、「(𝓑)」の構造にある全ての項のうち、「(𝓑)」の構造にある全てのコア数の項以外の項にあるということである。

　　📢　コア数の「構造」と「項」の大きな違いは、(𝓑)の文字列「𝓑」に含まれる如何なる項も(𝓑)の構造だが、文字列「𝓑」に含まれるすべての項が(𝓑)の項とは限らないことである。例えばコア数(27,3,3,3)は４個の項を持ち「27」は第４項に存在する。この第１項の値を「3」から「(9,3)」に拡張してみる。

　　・(27,3,3,3)

　　・(27,3,3,(9,3))

　　このとき(27,3,3,(9,3))の項は４個のままであり「27」は第４項に存在する。第１項にあるコア数(9,3)の項は(3,3,3,(9,3))の項として数えない。しかし「9」のある(9,3)の第２項は(27,3,3,(9,3))の構造である。

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　■　付帯コア数　■

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　■付帯コア数の定義

　　📌　付帯コア数は、任意の𝐱番地であるコア数の各項にある数の番地が、以下の条件を全て満たす様に制限したコア数の表記の一部であり、独立した数としては機能しない。

　　❶　写像ℳ₄₂の値域の要素に必ず該当する。

　　🍊

　　ℳ₄₂:ℤ₊→𝕊

　　𝐚⟼ℳ₄₂[𝐚]

　　ℳ₄₂[1] = {1+{𝐱-1}}番地

　　ℳ₄₂[𝐮] = {𝐮+{𝐱-1}}番地,ℳ₄₂[𝐮-1]

　　❷　第１項と最終項以外は素冪数である。　

　■励起状態

　　📌　付帯コア数の励起状態とは以下の条件をすべて満たすことである。

　　❶　最終項が極限数または素数ではない。

　　❷　最終項と第１項以外が素数ではない。

　　📌　励起状態ではない付帯コア数𝓐の項に、励起状態の付帯コア数𝓑を持つコア数があったとしても、𝓐は励起状態ではない。

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　■　 付帯コア数Mk-II　 ■

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　■付帯コア数Mk-II　の定義

　　📌　付帯コア数Mk-II　はコア数の表記の一部であり独立した数としては機能しない。コア数の表記と異なるのは以下である。

　❶　第１項は自然数の「0」か「2」である。

　❷　付帯コア数Mk-IIの番地は第２項にある数の番地である。

　❸　付帯コア数Mk-IIの最終項は第２項である。

　　🔰　付帯コア数Mk-IIの例

　　・　(3,0)

　　・　((3),0)

　　・　(5,0)

　　・　((5),0)

　❹　付帯コア数Mk-IIである𝓐を構造に持つコア数(𝓑)の保存形において𝓐は変化しない。　

　　🔰　

　　・付帯コア数Mk-IIを含まない保存形。

　　　(3,(5,3))↔(5,(7,5))　⭕️

　　　(3,(5,3))↔(7,(11,7))　⭕️

　　・付帯コア数Mk-IIを含む保存形。

　　　(3,((3,(5,3)),0),3,(5,3)) ↔ (5,((5,(7,5)),0),5,(7,5)) 　❌

　　　(3,((3,(5,3)),0),3,(5,3)) ↔ (5,((3,(5,3)),0),5,(7,5)) 　⭕️

　　　(3,((3,(5,3)),0),3,(5,3)) ↔ (7,((3,(5,3)),0),7,(11,7)) 　⭕️

　■付帯コア数Mk-IIの大小関係

　　📌　付帯コア数Mk-IIである如何なる(🍇,🍑と(🍓,🍑)についても、🍇>🍓であれば(🍇,🍑)>(🍓,🍑)である。

　■付帯コア数Mk-IIと基底の番地

　付帯コア数Mk-II(🍓,🍑)の🍓の構造にある数𝓐について、任意の𝓐の基底となる番地は、𝓐を構造に持つ最短の(🍓,🍑)の🍓の番地である。

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　■　コア数を意味する記号　■

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　　📌　以降、任意のコア数を「(❛ᴗ❛)」の記号で表す。