巨大数で遊ぼう！ ～Third season～

第２話 加法

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　■　加法　■

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　■単純並列

　加法による任意の数「𝓐」の和の単純並列という表記法を以下に定義する。

　　🍊

　　ℳ₂₀:ℤ₊→𝕊

　　𝐚⟼ℳ₂₀[𝐚]

　　ℳ₂₀[1] = 𝓐₁　

　　ℳ₂₀[𝐮] = 𝓐ᵤ + ℳ₂₀[𝐮-1]

　　🍊

　　ℳ₂₁:ℤ₊→𝕊

　　𝐚⟼ℳ₂₁[𝐚]

　　ℳ₂₁[1] = 𝓐₁　

　　ℳ₂₁[𝐮] = 𝓐ᵤ ℳ₂₁[𝐮-1]

　　📌　このとき単純並列とは、

　　　ℳ₂₀[𝐚] = ℳ₂₁[𝐚]

　　　である。

　　　また、単純並列である🍓と🍇の和も単純並列である。具体的にはℳ₂₀とℳ₂₁の定義に用いる任意の数「𝓐」を任意の単純並列「🍍」とする。

　　📢　単純並列は加法の順序を固定するものである。

　　・　🍓＋🍇＝🍓🍇　⭕️

　　・　🍓＋🍇＝🍇🍓　❌

　　📢　単純並列は「コア数の有限個の和」と「コア数の有限個の和と素冪数の和」として用いる表記であり素冪数の和には用いない。

　　・　(3)＋(3) = (3)(3)　⭕️

　　・　(3)＋(3)＋9 = 　(3)(3)9 　⭕️

　　・　9＋9 = 99　❌

　　・　9＋9 = 27　⭕️

　■加法に関連する言葉の定義

　　📌　

　　|単純並列の先端|　: ℳ₂₁の値域の任意の要素であるℳ₂₁[𝐚]の𝓐₁を「単純並列の先端」という。

　　📌　

　　|𝓐の有限個の和|　: ℳ₂₁の値域の要素が「𝓐の有限個の和」である。

　　📢　定義上「𝓐の有限個の和」は「𝓐」含み、「🍓と🍇の有限個の和」は「🍓」もしくは「🍇」を含むが、誤読を回避するために「𝓐の有限個の和もしくは𝓐」のように重複して記す場合がある。

　　📌　

　　|一律な𝒜の有限個の和|　: ℳ₂₁の値域の任意の要素であるℳ₂₁[𝐚]の如何なる𝓐ₑも全て等しいことを強調する表現である。

　　📌　

　　|加算の関係|　: 如何なる下付きの番号を持つ「𝓐」についても、他の全て下付きの番号を持つ「𝓐」に対して「加算の関係」にあるという。

　　📌　

　　|到達|　: 🍍>🍓である🍓と🍍について、f [🍓]=🍇が🍇≧🍓となるような任意の演算があるとき、その演算の解である🍇の値が🍇≧🍍となるときに、f [🍓]で🍍に到達したという。

　　📌　

　　|表現|　: 🍍>🍓である🍓と🍍について、f [🍓]=🍇が🍇≧🍓となるような任意の演算があるとき、その演算の解である🍇の値が🍇=🍍となるときに、f [🍓]で🍍を表現したという。

　■加法のための数の分類

　加法の原理を定義するために数を以下の３つに分類する。

　　📌　

　　❶　𝓐⊕𝓑=𝓐かつ𝓐⊗𝓑=𝓑となるような有限の𝓑

　　❷　𝓐⊕𝓑≠𝓐かつ𝓐⊕𝓑≠𝓑かつ𝓐⊗𝓑=𝓐となるような有限の𝓑

　　❸　その数より小さな如何なる数𝓐の有限個の和でも到達できない、かつ、自身と𝓨₀の和以外の、如何なる数の和でも表現できない無限の𝓑

　上記のような数の全体の集合をぞれぞれ、

　　📌　

　　❶　𝓨₀

　　❷　𝓨₁

　　❸　𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬ

　と、命名する。

　また、𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬの要素である𝓐に対して𝓑が𝓐>𝓑であることを、

　　📌　𝓐>>𝓑

　と、表す。

　■加法の法則の定義

　❶　

　𝓐>>𝓑である如何なる𝓐と𝓑についても、

　　📌

　　・𝓐+𝓑 = 𝓐𝓑

　　・𝓑+𝓐 =𝓐

　である。

　❷

　　📌　ℳ₂₀[𝐚] の𝐦 >𝐞を満たす、加算の関係にある如何なる𝓐ₘと𝓐ₘ₋ₑについても𝓐ₘ₋ₑ>>𝓐ₘであれば𝓐ₘは𝓨₀に等しい。こような𝓐ₘを𝓑、𝓐ₘと𝓐ₘ₋ₑ以外を□としたとき、ℳ₂₀[𝐚] を以下のように略記するのであれば、

　　・…⊕□⊕𝓑⊕𝓐 = …⊕□⊕𝓐

　　・…⊕□⊕𝓑…⊕□⊕𝓐 = …⊕□…⊕□⊕𝓐

　　・…⊕□⊕𝓑…⊕□⊕𝓐…⊕□ =…⊕□ …⊕□⊕𝓐…⊕□

　　である。

　❸

　如何なる𝓐についても、

　　📌　

　　・𝓨₀+𝓐＝𝓐

　　・𝓐+𝓨₀＝𝓐

　である。

　❹　𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬの要素である𝓐の有限個の和で到達可能な𝓐<𝓑である𝓑ついて、

　　📌　

　　・𝓐＋𝓑＝𝓐𝓑

　　・𝓑＋𝓐＝𝓑𝓐

　である。