巨大数で遊ぼう！ ～Third season～

第１章 みくみく順序数Act.β

第１話 基本的な記号と概念

　■■■■■■■■■■■■■

　■　基本的な記号と概念　■

　■■■■■■■■■■■■■

　■装飾的な記号

　「　: 如何なる定義にも関係しない括弧。

　」　: 如何なる定義にも関係しない括弧。

　「■」　: 文章の装飾文字

　「・」　: 文章の装飾文字。

　「❶」　: 文章の装飾文字。

　「❷」　: 文章の装飾文字。

　「❸」　: 文章の装飾文字。

　「❹」　: 文章の装飾文字。

　「❺」　: 文章の装飾文字。

　「❻」　: 文章の装飾文字。

　「❼」　: 文章の装飾文字。

　「❽」　: 文章の装飾文字。

　「🔰」　: 文章の装飾文字。例文。

　「📢」　: 文章の装飾文字。解説。

　「📌」　: 文章の装飾文字。定義。　注・全ての定義に添えているわけではない。

　「 🍒 」　: 文章の装飾文字。

　「 🍊 」　: 文章の装飾文字。

　「 🍋 」　: 文章の装飾文字。

　■機能的な記号

　「 」　: |半角スペース| は意味のない文字である。如何なる文字列も|半角スペース| の有無により変化しない。

　「　」　: | 全角スペース| は文字列を分つ文字である。|全角スペース| の有無により変化する文字列が少なくともひとつは存在する。

　「𝓐」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

　「𝓑」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

　「𝒜」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

　「ℬ」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

　「🍓」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

　「🍇」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

　「🍍」　: 「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

　「□」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

　「 : 」　: “𝒜 : ℬ”　𝒜 をℬと定義する。このとき「𝒜」は「𝒜」という文字列そのものである。「𝒜」が任意の概念である場合は“|𝒜| : ℬ”と記す。

　「 “ 」　: 例文を示す括弧。

　「 ” 」　: 例文を示す括弧。

　「 | 」　: 記号ではなく概念を表す括弧。"|素数|　: 数学用語に同じ。"は「数学用語のに同じ」という意味として「素数」という記号を定義しているのではなく、「素数」という概念は数学用語と同じ意味であることを示している。

　「❌」　: “𝒜 　❌”　「𝒜」は間違い。

　「⭕️」　: “𝒜 　⭕️”　「𝒜」は正しい。

　「➡」　: “𝒜ᵤ ...𝒜₁ 𝒜₀　➡　𝒜＞ℬ”　この行の全ての𝒜ᵩについて𝒜ᵩ＞ℬを満たす。

　■演算記号

　「 + 」　: 加法。加算。“１+１=２”

　「 ⁺ 」　: 加法。加算。上付き文字。

　「 ₊ 」　: 加法。加算。下付き文字。

　「⊕」　: 加法。加算。可視性を重視して使い分けている。

　「 - 」　: 減法。減算。“１-１=０”

　「 ⁻ 」　: 減法。減算。“𝒜 ⁻ ℬ”上付き文字。

　「 ₋ 」　: 減法。減算。“𝒜 ₋ ℬ”下付き文字。

　「⊖ 」　: 減法。減算。“𝒜⊖ℬ”　特殊な計算を含む場合に使っている。

　「⊗」　: 乗法。乗算。“𝒜 ⊗ ℬ”

　📢　上記の任意の演算記号を□と置く。任意の演算記号について、数式“□ℬ”の左辺に文字列がないときは“□ℬ”は「ℬ」である。また数式“𝒜 □”の右辺に文字列がないときは“𝒜 □”は「𝒜」である。

　■等号・不等号

　「≧」　: 等号付き不等号。 “ 𝒜 ≧ ℬ ”　「𝒜」は「ℬ」と等しいか、または、「𝒜」は「ℬ」よりも大きい。

　「≦」　: 等号付き不等号。 “ 𝒜 ≦ ℬ ”　「𝒜」は「ℬ」と等しいか、または、「𝒜」は「ℬ」よりも小さい。

　「>」　: 不等号。 “ 𝒜 > ℬ ”　「𝒜」は「ℬ」よりも大きい。

　「<」　: 不等号。 “ 𝒜 < ℬ ”　「𝒜」は「ℬ」よりも小さい。

　「 = 」　: 等号。“ 𝒜 = ℬ ”　「𝒜」は「ℬ」である。

　「≠」　: 等号の否定。“ 𝒜 ≠ ℬ ”　「𝒜」は「ℬ」ではない。

　「∈」　: “ 𝒜 ∈ℬ ” 　集合論における「属する」の記号に同じ。

　「〓」　: “ 𝒜 〓 ℬ ”　「𝒜」は「ℬ」と表記する。

　■括弧

　「 { 」　: 説明的な括弧。消しても変化しないと思う。

　「 } 」　: 説明的な括弧。消しても変化しないと思う。

　「 ₍ 」　: 演算の掛かりを示す括弧。消すと解が変わるかもしれない。下付き文字。

　「 ₎ 」　: 演算の掛かりを示す括弧。消すと解が変わるかもしれない。下付き文字。

　「 ⁽ 」　: 演算の掛かりを示す括弧。消すと解が変わるかもしれない。上付き文字。

　「 ⁾ 」　: 演算の掛かりを示す括弧。消すと解が変わるかもしれない。上付き文字。

　「 [ 」　: 写像に代入する要素を示す括弧。

　「 ] 」　: 写像に代入する要素を示す括弧。

　「 ⁅ 」　: 任意の記号そのものを表す括弧。"⁅𝒜⁆"　「𝒜」という記号。

　「 ⁆ 」　: 任意の記号そのものを表す括弧。"⁅ℬ⁆"　「ℬ」という記号。

　■写像

　「 ℳ 」　: 写像の記号。全て全域写像である。

　「 ƒ 」　: 写像の記号。全て部分写像である。

　「ℱ」　: 写像の記号。全て部分写像である。

　「 𝙁.𝙂.𝙃 」　: 写像の記号。全て部分写像である。

　「 𝙁.𝙂.𝙃 ᴺᵉˢᵗ 」　: 写像の記号。全て部分写像である。

　「 → 」　: 集合論における写像の記号に同じ。　“□: 𝒜→ℬ”

　「⟼」　: 集合論における写像の記号に同じ。　“🍓⟼🍇”

　「；」　: 写像に代入する２個以上の要素を区切る。　“ƒ[𝒜；ℬ]”　

　「×」　: 直積集合。集合の直積を表す。　“𝒜 × ℬ”　

　■集合

　「ℕ」　: 非負整数全体の集合。

　「ℤ₊」　: 正整数全体の集合。

　「𝕊」　: 文字列全体の集合。

　「𝕊₅」　: 写像ℳ₅の値域の要素全体の集合。

　「⬜」　: □のみの記号からなる文字列全体の集合。

　「𝕄」　: 「0」「1」「2」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「(」「)」「,」のみの文字からなる文字列全体の集合。

　■一般的な数の意味する記号

　「 𝐧 」　 : 非負整数　「 ⁿ = 𝐧 」「 ₙ = 𝐧 」

　「 𝐞 」　: 正整数　「 ₑ = 𝐞 」

　「 𝐚 」　: 正整数　「 ₐ = 𝐚 」

　「 𝐮 」　: ２以上の整数　「 ᵤ = 𝐮 」

　「 ʷ 」　: 正整数　「 ʷ = 𝐰」

　「 ʰ 」　: 正整数　「 ʰ = 𝐡」

　「 ᵩ 」　: 非負整数　「ᵩ =φ」

　「 ᵨ 」　: 正整数

　「 ₘ 」　: 正整数　「 ₘ = 𝐦 」

　「 ᵪ 」　: ２以上の整数　「 ᵪ = 𝐱 」

　「🍑」　: 「0」または「2]

　「 𝐩 」　: 素数

　「 …𝐩 」　: ０個以上の𝐩　厳密な定義は以下の写像ℳ₀で定める。

　　　　🍊

　　　　ℳ₀:ℕ→𝕊

　　　　𝐧⟼ℳ₀[𝐧]

　　　　ℳ₀[0] = |空欄|

　　　　ℳ₀[𝐞] = ℳ₀[𝐞-1],𝐩

　　　　このとき、

　　　　,…𝐩 = ℳ₀[𝐧]

　　　　が「０個以上の𝐩」である。

　「 𝑝 」　: 𝐩より小さな番地の素数

　■独自の数を意味する記号

　「 𝐬 」　: 後続数　 「𝐬」の番地はコア数の番地と同じかそれよりも小さい。

　「 𝐥 」　: 極限数　 「𝐥」の番地はコア数の番地と同じかそれよりも小さい。

　「 𝔁 」　: ２個以上の𝔁は等しくとも等しくなくともよい。基底の番地のコア数ならば、コア数の番地の任意の数。基底の番地以外のコア数ならば、コア数の番地と同じかそれよりも小さい任意の数。ただし、コア数𝓐の項にコア数𝓐よりも小さな番地の数𝓑があるとき、𝓑が存在するのは、必ず、コア数𝓐の最終項、かつ、コア数𝓐の第２項である。

　「 …𝔁 」　: ０個以上の𝔁　厳密な定義は以下の写像ℳ₁で定める。

　　　　🍊

　　　　ℳ₁:ℕ→𝕊

　　　　𝐧⟼ℳ₁[𝐧]

　　　　ℳ₁[0] : |空欄|

　　　　ℳ₁[𝐞]=𝔁,ℳ₁[𝐞-1]

　　　　このとき、

　　　　…𝔁,= ℳ₁[𝐧]

　　　　が「０個以上の𝔁」である。

　　　　ただし「𝔁」が０個ならば、つまり、第１項が最終項になるのであれば「１個以上の𝔁」とする。厳密には、写像の定義の「ℳ₁[0] : |空欄|」を「ℳ₁[0]=𝔁,」に書きかえた物ものとする。

　「 𝔂 」　: 付帯コア数の任意の数。最終項ならば「𝓒...Pᵪʷ」であり、そうでなければ「Pᵪʷ」である。

　「…𝔂 」　: 「 …𝔁 」と同じ機能。

　「(❛ᴗ❛)」　: コア数（付帯コア数を含む）

　「 𝓒...□ 」　: 「𝓒...□」の文字列「□」にある要素を除いた、０個の(❛ᴗ❛)、もしくは(❛ᴗ❛)の有限個の和。この「𝓒...□」の「(❛ᴗ❛)」は全て自在である。ただし、「𝓒...(❛ᴗ❛)」の文字列の要素の任意の如何なる「(❛ᴗ❛)₁(❛ᴗ❛)₀」についても「(❛ᴗ❛)₁≧(❛ᴗ❛)₀ 」である。 厳密な定義は以下の写像ℳ₂で定める。

　　　　🍊

　　　　ℳ₂:ℕ→𝕊

　　　　𝐧⟼ℳ₂[𝐧]

　　　　ℳ₂[0] = □　

　　　　ℳ₂[𝐞] = ⁅(❛ᴗ❛)⁆ ℳ₂[𝐞-1] 　

　　　　このとき、

　　　　𝓒...□ = ℳ₂[𝐧]

　　　　が「０個の(❛ᴗ❛)、もしくは(❛ᴗ❛)の有限個の和」である。

　「 ━ 」　: コア数の構造として許容される文字列。

　「─𝓌─」　: 基本列を定める定義の文字列

　「ᴱˣ(─𝓌─)」　: 付帯コア数　「ᴱˣ」のない「(─𝓌─)」は付帯コア数ではない。

　「ᴴᴵᴳᴴ(─𝓌─)」　: 励起状態の付帯コア数

　「ᴮᴹ」　: “□ᴮᴹ” 「𝐵𝑂𝑂𝐾𝑀𝐴𝑅𝐾」である。文字列に添える目印。改行等して“□ᴮᴹ” ならば「□」の詳細を記述する場合に用いる。

　「٩(❛ᴗ❛)و 𝐱」　: 𝐱は(❛ᴗ❛)の番地

　「 ↔ 」 　: “𝒜↔ℬ”は「𝒜はℬの保存型である」といい、番地の値が𝒜>ℬである𝒜とℬについて、ℬの構造の要素である全ての数に対し、その番地の値のみに「𝐞」を加算する操作を行い、𝒜とℬの番地の値が𝒜=ℬであるときに、文字列としての𝒜とℬについても𝒜=ℬであれば「𝒜はℬの保存型である」といい「𝒜↔ℬ」と表す。

　■文字列に関する概念

　|空欄|　: |半角スペース| を意味する。

　|概念|　: 概念は文字列または記号により共有される情報である。

　|文字列|　: 以下の写像 ℳ₅の値域の要素が文字列である。「□」を「任意の文字」または「任意の記号」または「任意の文字列」を情報体とする記号とする。

　　　　🍊

　　　　ℳ₅:ℕ→⬜

　　　　𝐧⟼ℳ₅[𝐧]

　　　　ℳ₅[0] = |空欄|　

　　　　ℳ₅[𝐞] = □ ℳ₅[𝐞-1]　

　|記号|　: 𝐚種類の互いに異なる文字、その𝐚種類𝐚個の集合を「🍍ᴼᴹᴱᴳᴬ」と置く。「🍍ᴼᴹᴱᴳᴬ」の任意の要素を「🍍ʰ」と置く。「🍍ᴼᴹᴱᴳᴬ」の要素はそれぞれ異なる正整数を持つものとする。「🍍ʰ」の正整数𝐡は一意であり「🍍ʰ」以外に正整数𝐡を持つ「🍍ᴼᴹᴱᴳᴬ」の要素は存在しない。𝐦文字の文字列𝓢を構成する任意の文字𝓐は𝓐∈🍍ᴼᴹᴱᴳᴬである。文字列𝓢の、任意の正整数𝐡を持つ文字𝓐について、それが文字列𝓢の𝐞番目であれば、文字列𝓢の𝐞番目を「𝐞番目の素数の𝐡乗」とする。この値を🍓ₑと置く。文字列𝓢が１文字なら🍓₁で、文字列𝓢が２文字以上ならば🍓₁から🍓ₘまでの全ての値の積で文字列𝓢を表す。この値を𝓢値と呼ぶ。𝓢値が𝐱であるような文字列𝓢を𝓢𝐱と置く。このとき、𝐱≠𝐮を満たす如何なる𝓢𝐱と𝓢𝐮についても、𝓢𝐱が𝓢𝐮を示し、かつ𝓢𝐱=𝓢𝐮のように等式で結べない、または、始域𝒜の要素𝓢𝐱が写像により終域ℬの要素𝓢𝐮に指定されているわけではない、かつ、𝓢値𝐱と𝓢値𝐮とを出力可能な文字列を部分として持つ𝓢𝐰を定めることのみにより𝓢𝐱が𝓢𝐮を示すのであれば、𝓢𝐱は𝓢𝐮を示す記号である。このとき「𝓢𝐱」を記号𝓢𝐱の支持体、「𝓢𝐮」を記号𝓢𝐱の情報体と呼ぶ。

　|文字|　: 文字列の最小単位である。

　|最短|　: 最短の𝒜とは、𝒜を構成する文字列について写像 ℳ₆の終域の要素である𝐧が最小となることである。

　　　　🍊

　　　　ℳ₆:𝕊₅→ℕ

　　　　□ …□⟼ℳ₆[□ …□]

　　　　ℳ₆[ ]=0

　　　　ℳ₆[□ …□]=1+{ℳ₆[…□]}

　　　「…□」は「０個以上の□」。厳密な定義は以下の写像 ℳ₇で定義する。

　　　　🍊

　　　　ℳ₇:ℕ→⬜

　　　　𝐧⟼ℳ₇[𝐧]

　　　　ℳ₇[0] = |空欄|　

　　　　ℳ₇[𝐞] = □ ℳ₇[𝐞-1]　

　　　「□」を任意の文字としたとき、　　　　

　　　 …□=ℳ₇[𝐧]

　　　である。

　|段落|　: 日本語の文章作法における段落。文字列を分つ機能がある。

　　・以下には「🍓」と「🍇」と「🍍」の３つの文字列が存在する。

　　🍓　🍇　

　　🍍　

　　・以下には「🍓🍇」と「🍍」の２つの文字列が存在する。

　　🍓🍇　

　　🍍　

　|文字列の要素|　: 「🍓」は「🍇」の文字列の要素であるとは、「🍓」と「🍇」を「𝐱>𝐚」を満たす🍇 = ℳ₅[𝐱]と🍓 = ℳ₅[𝐚]とし、ℳ₅[𝐧₁]とℳ₅[𝐧₀]を任意の文字列としたとき、少なくとも以下のいずれかを満たすという事である。

　・　ℳ₅[𝐚] ℳ₅[𝐧₀] = ℳ₅[𝐱]　➡　𝐱≧𝐚+𝐧₀

　・　ℳ₅[𝐧₁] ℳ₅[𝐚] ℳ₅[𝐧₀] = ℳ₅[𝐱]　➡　𝐱≧𝐚+𝐧₀+𝐧₁

　・　ℳ₅[𝐧₁] ℳ₅[𝐚] = ℳ₅[𝐱]　➡　𝐱≧𝐚+𝐧₁

　■数の概念

　|自然数|　: 数学用語に同じ。ただし集合論に順じて「０」を含む。

　|非負整数|　:０以上の整数。自然数。

　|整数|　: 数学用語に同じ。

　|正整数|　:１以上の整数。

　|素数|　: 数学用語に同じ。

　|奇素数|　: ２以外の素数。

　|偶数|　: 数学用語に同じ。０を含む。

　|奇数|　: 数学用語に同じ。

　|十進記数法|　: アラビア数字を使った十進法。上記の八種の数は全て十進記数法を用いる。

　|変数|　: 記号「𝒜」が、定められた範囲で任意の値をとれるのであば「𝒜」は変数である。

　|自在|　: 変数「𝒜」と変数「ℬ」のとる値が、互いに等しくとも等しくなくともよい状態を「𝒜とℬは自在」という。また、ふたつ以上の変数「𝒜」について、その変数「𝒜」の如何なる組み合わせにおいても、変数「𝒜」のとる値が、等しくとも等しくなくともよい状態を「𝒜は全て自在」という。

　|数の要素|　: 「🍓」は「🍇」の数の要素であるとは、「🍓」と「🍇」が「🍇>🍓」を満たすことである。

　■大小関係に関する概念

　|𝒜 以上|　: 「𝒜」を含む。

　|𝒜 以下|　: 「𝒜」を含む。

　|𝒜 以外|　: 「𝒜」を含まない。

　|𝒜 以内|　: 「𝒜」を含む。

　|𝒜 未満|　: 「𝒜」を含まない。

　|𝒜 よりも|　: 「𝒜」を含まない。

　|𝒜 まで|　: 「𝒜」を含む。

　■数学の概念

　|集合|　: 集合論に関連する数学用語に同じ。

　|部分集合|　: 集合論に関連する数学用語に同じ。

　|直積集合|　: 集合論に関連する数学用語に同じ。

　|写像|　: 集合論に関連する数学用語に同じ。全域写像。

　|全域写像|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の集合「𝒜」が始域となる写像。

　|部分写像|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の集合「𝒜」が定義域となる写像。

　|始域|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の集合「𝒜」である。

　|定義域|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の「始域」の部分集合である。

　|終域|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の集合「ℬ」である。

　|値域|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の「終域」の部分集合である。「𝒜」の任意の要素を「𝒶」としたとき「🍓[𝒶]」と記せる要素の集合である。

　|アラビア数字|　: 全角、半角、下付き、上付きともに自然数の十進記数法を表している。ただし、半角については「ω番地数列」として「記号の再定義」を行う。この再定義の後も「1」が定義文に登場するが、これは十進記数法の「1」である。また、みくみく数の定義に用いている「3939」も十進記数法である。

　|下付きアラビア数字|　: 下付きアラビア数字は「素冪数」などの個別に定義があるものを除き、

　　❶　数を示す記号への添付は、

　　𝓐:自然数

　　𝓑:自然数

　　🍓[𝓐,𝓑]

　　と、したいが記号が足らない。

　　𝓐:自然数

　　🍓[𝓐,𝓐]

　　では🍓[1,1]や🍓[2,2]に限定されるため、

　　𝓐:自然数

　　🍓[𝓐₁,𝓐₀]

　　として🍓[1,1]や🍓[2,2]だけでなく、🍓[3,9]や🍓[3939,3]なども可能にするための意図である。つまり「𝒜は全て自在」というわけである。また、写像などを使って、

　　𝓐₀,𝓐₁,𝓐₂,...𝓐ₘ

　　などと番号を振る場合は、上記の意図に加えて、その文字列の特定の部分などを指し示すためである。

　　❷　また「…₀Λ」や「ƒ₂」など、関数や写像を表す記号への添付は、その記号の意味の違いや写像の場合分けなどを示している。