Sal' Dials

閑話 超極限値理論

　ルカに説明した０除算を定義する理論である。

　ルカの世界では０を除算するのが禁止されているらしい。

　確かに０という数字は少し考えにくいものであるが、それはあらゆる０を全て同じ０と捉えているから起こるものである。

　［１］０、［１］∞という数字を定義する。

　［１］０×［１］∞＝１、［１］０×２＝［２］０、［１］∞×２＝［２］∞、（［ｘ］０）＾２＝［ｘ＾２］０＾２であるとする。

　※和差算に於ける０や∞は、ある条件下でなければ、定義した値を用いることができない。

　ひとつ、定義した値を用いた演算を考えてみよう。

　一行目に面積０（正確には［１］０）の点が１つあるとしよう。

　そして、二行目には上記の点が２つあるとする。

　これをｎ個続けていく。ｎ行目には点はｎ個ある。

　この時、点の個数はｎ（ｎ＋１）／２である。

　だが、面積はというと、０に何を掛けても０の為、面積は０である。

（定義を用いると、面積は［ｎ（ｎ＋１）／２］０）

　とりあえず、解りづらいかもしれないから、少し遠回りする。

　１～１００までの点の個数を数える時、１＋１００、２＋９９、３＋９８……と続けていくと、仕舞には５０＋５１で止まる。これを簡単にしたものが、１０１×５０であり、１００（１００＋１）／２と変形できる。

　これが、ｎ（ｎ＋１）／２の正体である。

　次は、さっき定義した［１］∞という値をｎに代入してみよう。

　これは、列が［１］∞個存在したときの面積を求める式となっている。

　これを計算すると、［１／２］∞（［１］∞＋１）となる。

　［１］∞＞＞１である。よって、｛｝内は次のように近似できる。

　［１／２］∞（［１］∞＋１）≒［１／２］∞×［１］∞

　これを解くと、［１／２］∞＾２となる。

　∞についた次数は次元の数であり、［］内の数字はその次元で有効な値になる数を指している。

　つまり、面積のない（正確には面積の見えない）点の∞個の集合は、∞の係数に対応する面積を持つ。

　ｎ＝［１］∞の時、それは２次元上で１／２の値を持つ、つまり１／２の面積を持つことになる。

　これは、区分求積法という積分に数列を応用した方法を、∞を用いてわかり易く説明したものだ。

　また、極限や数列・関数の発散／収束／振動をはじめ、ある程度であれば上記の定義を用いるとより直感的な理解ができる。

　そんなニュアンスで、図示し書きつつ説明したんだけど、理解してくれたかなあ。

　※ある条件下とは、計算式内に於ける全ての数字が、計算結果に於ける次元までの情報を持っている必要があるということである。

　例えば１－１＝０に於いて、其々（それぞれ）の数字内に近似され消えている［ｘ］０＾ｎがある事を示せば、和や差を小さい方のｎまでの次元に於いて、定義した値を用いて表す事ができる。