彼らは数学しか勉強できない

コイン投げとじゃんけんの意外な関係

　俺と愛華は向かい合って椅子に座っていた。少し離れたところに成宮が立っており、コインを投げて「裏」と言った。

「よっしゃ、私の勝ち！　これで三連勝！」

　愛華は小さくガッツポーズして喜びを爆発させた。まさか連敗するとは……

「友村さんやるね。安藤、まだやるかい？」

「……ああ。その前に少し時間をくれ。考えを整理したい」

　俺と愛華がプレイしているのはPenney's game（ペニーのゲーム）と呼ばれる、コイン投げの結果を予測するものだ。ただし、1回ごとではなく3回分の結果の組み合わせ。つまり8通りから1つを選択し、どちらかのプレイヤーが選択した組み合わせが出るまでコインを投げる。

　第1戦で俺は表表裏。愛華は裏表表を選択した。

　結果は裏表表であっさり決着がついた。

　第2戦、俺は表裏表。愛華は表表裏を選択。

　結果は表表表表裏で愛華が二連勝。俺はコインに細工でもしているのかと疑ったがまだ2戦目というのもありプレイを続けることにした。

　そして第3戦、俺は再び表裏表を選択。それに便乗したのか愛華も第2戦と同じ表表裏を選択した。

　結果は裏裏裏裏裏表表表表裏で愛華が三連勝。ただの偶然かそれとも何か必勝法があるのか。

　単純に考えるとどちらも勝つ確率は1/8になりそうだが、これまでの結果を振り返ると違うようだ。

　俺はノートを取り出し、すべての組み合わせを記した。

　表表表、表表裏、表裏裏、表裏表、裏表裏、裏表表、裏裏表、裏裏裏

　このゲームで重要なポイントは「プレイヤーが選択した組み合わせが出るまでコインを投げ続ける」ことだ。

　普通のコイン投げではコインが歪んでいる、またはコインに細工がされていない場合を除けば、表と裏が出る確率はともに1/2。毎回表と裏のどちらが出るかを選択するだけなら、プレイヤーは常に表を選択しても勝敗に影響しない。

　だが、Penney's gameの場合は3回分の組み合わせが出現するまでコインを投げるから、過去2回の投げた結果が勝敗に影響する。

「安藤、そろそろいいかい？　友村さんが待ちくたびれてる」

　愛華に目をやると「早くして」と焦らしている。

「そうだな。じゃあ、表裏裏で」

「表裏裏か……どうしようかな」

　愛華は腕を組み小さく唸る。成宮は特に何も言わずコインを投げる準備をしていた。

「……表表裏で」

　またか。これで3連続だ。この組み合わせに何か意味があるのか？

　思考を巡らせる俺をよそに成宮は淡々とコインを投げる。1回目は裏、2回目は表、3回目は裏が出て俺のリーチ。そして4回目。

「裏」

「あー、負けちゃった。勝てると思ったんだけどなぁ」

　愛華はそう言って顔をしかめた。よほど自信があったのか。俺はノートにこれまでの対戦結果を書き記した。何かヒントが得られればいいのだが。

　　　　　和人　　愛華　 勝者

　第1戦　表表裏　裏表表　愛華

　第2戦　表裏表　表表裏　愛華

　第3戦　表裏表　表表裏　愛華

　第4戦　表裏裏　表表裏　和人

「……なるほど」

　愛華の選択パターンは読めた。さて、ここからどうするか……少しカマをかけてみるか。

「愛華、これで最後にしよう。先に選んでいいぞ」

「え、私が？」

「ああ。これまでずっと俺が先だったし。1回ぐらい逆でもいいだろ？」

　俺の提案に愛華は初めて戸惑う表情を見せた。やはり、このPenney's gameは後手が有利のゲームだ。

「……わかった。じゃあ、裏表裏」

　愛華の選択パターンを見ると最適の選択肢はこれだろう。

「裏裏表」

　愛華の手がピクリと動いた。あとは結果を待つだけだ。

「成宮、始めてくれ」

「言われなくてもそうするよ」

　成宮はそう言ってコイントスを始めた。1回目は裏でそれから表が4連続。6、7回目は裏。そして8回目のコイントス。

「表」

「よしっ」

「やっぱり～。嫌な予感してたんだよ」

　愛華はそう言って悔しさを滲ませる。思い通りにいくとなかなか爽快だな。

「安藤、どこで組み合わせのパターンに気づいた？」　

「4戦目のあと。愛華が表表裏を3回連続で選んだのはさすがに妙だと思った。対戦結果を見たとき、俺が選んだ組み合わせの前2つと、愛華の選んだ組み合わせの後ろ2つが毎回一致してたんだ」

　俺は成宮にすべての対戦結果を見せた。

　　　　　和人　　愛華　 勝者

　第1戦　表表裏　裏表表　愛華

　第2戦　表裏表　表表裏　愛華

　第3戦　表裏表　表表裏　愛華

　第4戦　表裏裏　表表裏　和人

　第5戦　裏裏表　裏表裏　和人

「第4戦は俺が勝ったけど、確率的には愛華の選んだ表表裏の方が勝率高いんだろ？」

「そうだよ。表裏裏が表表裏に勝つ確率は1/3だ。まっ、あくまでも相性が悪いだけで表表裏に絶対勝てないわけじゃない。実際、今回は表裏裏が勝った」

「ちなみにほかの組み合わせの相性は？」

「ノートに書いてるから今見せるよ」

　成宮は鞄からノートを取り出してページを開いた。

　1st　　2nd　 WP

　HHH　THH　1/8

　HHT　THH　1/4

　HTH　HHT　1/3

　HTT　HHT　1/3

　THH　TTH　1/3

　THT　TTH　1/3

　TTH　HTT　1/4

　TTT　HTT　1/8

「HはHead（表）、TはTail（裏）の頭文字、WPは先手の勝率。漢字で書くの面倒だからアルファベットにしたんだ」

「なるほど。仮に相手が表表表を選んだら、こっちは裏表表を選べば7/8（87.5%）の確率で勝てるってことか」

「そういうこと」

「それ覚えるの大変だったんだよ。せっかく和人に赤っ恥かかせられると思ったのに」

　後ろから愛華が身を乗り出して言った。俺に何か恨みでもあるのか。

「でも結構面白いよねこのゲーム。なんかじゃんけんに似てる」

「じゃんけん？　どこが」

「ほら、じゃんけんって勝つ手と負ける手があるじゃん？　Penney's gameも勝ちやすい組み合わせと負けやすい組み合わせがあるからさ。なんか似てるなって」

「友村さん、いいところに気づいたね。じゃんけんとPenney's gameは両方とも非推移関係なんだ」

「非推移関係？」

　成宮は頷いてノートをめくった。今日はいつもより積極的だな。

「まずは推移関係から説明しようか。例えば『AはBより大きい』と『BはCより大きい』という関係がともに成り立つならば『AはCより大きい』も成り立つ。三段論法と感覚は似てるね。これをじゃんけんに当てはめるとどうなるだろう」

「えーと、『グーはチョキに勝てる』と『チョキはパーに勝てる』は両方成り立ってるから『グーはパーに勝てる』……あれ？」

「成り立たないね。つまりじゃんけんは非推移関係ってこと」

　Penney's gameに当てはめると「裏表表は表表裏に勝ちやすい」と「表表裏は表裏裏に勝ちやすい」は成り立つ。しかし、「裏表表は表裏裏に勝ちやすい」は成り立たない。

「実は裏表表と表裏裏はどちらも勝率は1/2なんだ。だから、Penney's gameもじゃんけんと同様に非推移関係だ」

「全然関係なさそうなのに共通点あったんだ。意外」

　ただのコイン投げと思っていたが案外奥深いな。それにしても、最終戦に勝ったのはいいが結局2勝3敗で負け越しか。……まあ、攻略法を知ったところで第6戦をやったとしても絶対に勝つ保証はない。俺は小さくため息をついた。

参考文献

マット・パーカー　夏目大 訳『屈辱の数学史』山と渓谷社　2022年