彼らは数学しか勉強できない

0÷0に答えはあるのか？0で割ってはいけない理由

　数学の四則計算（加算、減算、乗算、除算）で除算は0で割ることが禁止されている。学校でその理由を教えられることはあまりない。

　知らなくても別に困ることはないが、数学の世界では0で割ることを認めると厄介なことになる。

　数学研究部の部室、成宮は黒板に「1÷0＝x」という式を書いた。

「0÷0の前に1÷0という式を考えてみようか。仮に答えがあるとして、xに具体的な数値が入るなら何が妥当だろう」

　成宮の問いに愛華は「うーん」と唸り、数秒経って答えた。

「0……かなぁ。特に理由はないけどなんとなく」

「それじゃあ、1÷0＝0としよう。割り算の逆演算は掛け算だからこれだと0・0＝1になるね」

　正しい例

　12÷4＝3⇔3・4＝12

　1÷0＝0とすると

　1÷0＝0⇔0・0＝1

　0・0＝0なので矛盾

「これ、どんな数でも矛盾するよね。xに何を入れても1と等しくなる」

「そう。xの値に関わらず矛盾が生じる。だから0で割ることはできないんだ。一般的には『不能』って呼ばれる。本題の0÷0は不能じゃないんだけど結局矛盾が生じる」

　仮に答えがあるとして、それをxとする。

　0÷0=x

　0÷0＝x⇔0・x＝0

「0に何を掛けても0だから、さっきとは逆でxの値に関わらず式が成立してしまう。これは『不定』と言う」　

「じゃあ、0÷0の答えは不定でいいの？」

「強いて答えを出すなら不定とするのが妥当かな。厳密な答えというか、結論は僕の知識じゃ出せない」

　成宮は言って俺に視線を向けた。「お前が結論を出せ」とでも言いたいのだろうか。

「……不能でも不定でも0で割ることは定義できない。0で割ることを認めると、成宮が説明した通り矛盾が生じるし都合が悪いんだ。過去にはアメリカでゼロ除算による事故が発生してる」

　俺がそう言うと、愛華が「えっ」と素っ頓狂な声を上げた。

「事故？　どういうこと？」

「詳しい経緯は知らないが、1997年にアメリカ海軍のミサイル巡洋艦……要はイージス艦だ。そのイージス艦のプログラムでゼロ除算が実行されてエラーが出たんだ。主機は停止、回復するまで2時間以上海を漂流したらしい」

「何それ怖（こわ）ぁ……」　

　実用試験中だったから大きな被害はなかったそうだが、本番だったらと思うと恐ろしいな。

「ちなみに、ゼロ除算の性質を使ったものでこんな式がある」

　俺はチョークを持って黒板にその式を書いた。

　x＝1　

　x（　2）＝x　両辺をｘ倍

　x（　2）－1＝x－1　両辺から1を引く

　(x－1)(x＋1)＝x－1　左辺を因数分解

　　　　x＋1＝1　両辺をx－1で割る

　　　　　x＝0　左辺の1を右辺に移項（右辺と左辺が逆でも可）

「これは一見すると正しそうに見える。実際、x（　2）＝xにx＝0、x＝1を代入したら式が成立している」

　x＝0を代入

　0（　2）＝0

　0＝0

　x＝1を代入

　1（　2）＝1　

　1＝1

「だが、これだと1＝0ということになる。これは明らかに矛盾している」

「式自体は矛盾してなさそうだけど……なんで？」

「先に結論を言うとx＝1としたのが矛盾の原因だ。4行目の式にx＝1を代入すると右辺の値は0。つまり、両辺をx－1で割ったのは0で割ったことと等しい」

　(x－1)(x＋1)＝x－1

　　　　x＋1＝1　

　(x－1)(x＋1)＝x－1にx＝1を代入

　(1－1)(1＋1)＝1－1

　　　　　0・2＝0

「0・2＝0の両辺を0で割る？　左辺は0だから0÷0……これって成宮くんが言ってた不定ってやつ？」

「そうだよ。1をaに置き換えて考えると、任意の整数を0と等しくできるね」

　x＝a（aは整数）

　x（　2）＝ax　両辺をｘ倍

　x（　2）－a（　2）＝ax－a（　2）　両辺からa（　2）を引く

　　(x－a)(x+a)＝a(x－a)　両辺を因数分解

　　　　x+a＝a　両辺をx－aで割る

　　　　　x＝0　左辺のaを右辺に移項

　よって、a＝0

「成宮くん、『任意』ってどういう意味？」

「任意は言い換えると『すべて』だよ。つまりこの式は『すべての整数は0と等しい』って意味になる。もちろん、そんなはずはない」

「これ学校で教えればいいのに。あっ、でも因数分解は高校生じゃないと難しいかな」

　数学が得意な中学生なら簡単な因数分解は理解できるだろう。小学生には厳しいか。

「小、中学生にゼロ除算を教えるなら、算数の方がイメージしやすいと思うよ。例えば『徒歩で10㎞の道のりを0時間で移動したとき、時速は何㎞ですか』とか」

「それ、問題自体おかしいよね」

「ゼロ除算を文章題にしたらどんな内容であってもおかしくなるよ。『12個のりんごを0人で分けると1人あたり何個になりますか』みたいにね」

「まあ確かに……」

　極限を使って考えると、aを整数としてa＞0なら正の無限大、a＜0なら負の無限大に発散する。

　a＞0のとき

　a÷0＝∞

　a＜0のとき

　a÷0＝－∞

　結局、0で割ることを算数、数学どちらで説明しても矛盾が生じる。だから0で割ってはいけないのだ。