彼らは数学しか勉強できない

背理法と√2

　素数判定法の件から一週間後、愛華はいつも通り俺の部屋に来ていた。今日は朝っぱらから、数学の参考書とにらめっこしている。はっきり言って怖い。

「愛華、どこが分からないんだ」

「……証明」

「もっと具体的に言え」

　数学の証明は整数だと対偶法、背理法、数学的帰納法、無限降下法など多岐にわたる。無限降下法はフェルマーの最終定理（n＝4）でしか見たことないけど。

「背理法が分かんないの」

「どこから」

「最初から。参考書には『ある命題を偽と仮定して矛盾を導きだし、命題が真であることを示す』って書いてるけど、意味がさっぱり分かんない」

　なるほど。数学用語は言葉で表現すると、どうしても抽象的になってしまう。背理法に限らず、証明は数をこなして慣れるしかない。

「例題もよく分からないんだよね。pとqは互いに素であるって何？」

　愛華はそう言って、該当のページを指差した。そこには√2が無理数であることの証明が記載されていた。背理法の例題では高い確率で載っている。

　√2を有理数と仮定して、√2＝q/pとする。pとqは整数で互いに素。

　2p（　2）＝q（　2）より、qは偶数。

　qを2r（rは整数）として上式に代入すると、pも偶数であることが分かる。

　これはpとqが互いに素であることに矛盾する。

　したがって、√2は無理数。

　……式がところどころ省かれてるな、初見で理解するのは難しいかもしれない。

「まず互いに素は、2つの数の最大公約数が1という意味だ。2と3、7と10みたいにな。ちなみに、分母と分子が互いに素である分数は既約（きやく）分数と呼ぶ。（既（すで））に（約）分された（分数）。そのまんまだろ？」

「確かに」

「次に、2p（　2）＝q（　2）だが、qが偶数なのは分かるな？」

「さすがにそれは分かるよ。qが奇数だったらq（　2）も奇数になっちゃう」

「その通り」

　ざて、ここから先をどう説明しよう。……参考書通りにいくか。

「ここでq（　2）に戻るぞ。qは偶数だから当然2で割れる」

「そうだね」

「qを2で割った商をrとすると、q（　2）はどう表せる」

「えーと……q＝2rだから、q（　2）＝4r（　2）？」

「正解。これを2p（　2）＝q（　2）に代入すると2p（　2）＝4r（　2）だ。両辺を2で割ると、p（　2）＝2r（　2）」　

　そこまで言って、愛華は合点がいったのか、「ああ、なるほど」と呟いた。　

「p（　2）は偶数だからpも偶数で、q/pが約分できる」

「その通り。これで√2が無理数であることが証明された」

「参考書の説明より分かりやすい。和人、先生になれるんじゃない？」

　そうだろうか。俺はただ単に説明が不足していたところを補っただけだ。多くの教科書や数学書に載っているスタンダードな証明だから面白味はないが……。

「背理法による証明にはもう一つ、素因数の数を比較する方法がある」

「素因数って素数の約数だっけ」

「そう。証明は途中まで一緒だ。念のために説明を追加しておく」

　√2を有理数と仮定して、√2＝q/pとする。pとqは整数で互いに素。

　両辺を2乗して、2＝q（　2）/p（　2）

　両辺にpを掛けて、2p（　2）＝q（　2）

「ここから先が違う。その前に事前準備だ」

　平方数（2乗数）は素因数の数が偶数個という性質がある。

　4＝2（　2）　素因数2が2つ。

　16＝2（　4）　素因数2が4つ。

　36＝2（　2）・3（　2）　素因数2と素因数3がそれぞれ2つ。

「これがどうしたの？」

「この性質を利用して、2p（　2）＝q（　2）の素因数2の数を比較する」

「2の数を比較？」

「ああ。q（　2）の素因数に2が何個あるかは分からないが、平方数だから偶数個であることは分かる」

「事前準備のところに書いてたね」

「ここで問題、2p（　2）に素因数2は偶数個と奇数個のどっちだ？」

「p（　2）は平方数だから偶数個で、2p（　2）は素因数2がもう1個あるから奇数個」

「正解。つまり、q（　2）と2p（　2）は素因数の数が違うから矛盾している」

「だから√2は無理数ってことね」

　俺は頷いた。

「余談だが、2012年に京都大学の入試で『（　　　3）√2（2の立方根）が無理数であることを証明せよ』という問題が出題された。お前に説明した方法で証明できる。平方根が立方根になっただけだからな」

「京都大学！？」

「そんなに驚くことじゃない。素因数の数を比較して証明してみよう」

　まず（　　　3）√2を有理数と仮定して、（　　　3）√2＝q/pとする。pとqは整数で互いに素。

　2＝q（　3）/p（　3）より、2p（　3）＝q（　3）

「今度は立方数だから、√2と同じようには行かない」

「それじゃあ、解きようがないじゃん」

「解けるさ。立方数は同じ数を3回掛けた数だから、素因数の数は3の倍数になる。2（　3）は素因数2が3つ、6（　2）の素因数は2と3がそれぞれ3つある」

「なるほどね。ということは、q（　3）の素因数には2が3の倍数個あるけど、2p（　3）の素因数は2が1個余分にあるから、2の個数が3の倍数にならなくて矛盾する」

「そういうこと」

　どうやら要領が分かってきたようだ。と、安堵しかけたところで、愛華がふいに言った。

「少し思ったんだけど、背理法以外で√2が無理数であること証明できないの？」

　それは俺も考えたことがある。ただ、直接証明するのは難易度が高いのだ。

「……背理法じゃないかどうかは微妙だけど、1つだけ思いついたのがある」

「何？」

「√2は2乗したら2になる数だよな」

　俺の意図が分からないのか、愛華の表情が険しくなった。

「2は分数で表すと（1分（ぶん）の2）だから分母は1。ということは、√2の分母は1、もしくは－1だ」

「そう……だね」

「分母が1と－1のどちらであっても、√2を分数で表すと分子は√2だ。有理数は分数で表せる数のことだが、分母と分子は整数でなければならない。√2は整数じゃないから、√2は分数表記ができない数。つまり、無理数ということになる」

　……いや待てよ。繁（はん）分数（分母と分子が分数の数）は有理数だから、この証明は正しいとは言えない。それに分母が1というのも……やはり背理法なしで証明するのは難しいな。

　背理法を嫌う人は一定数いるが、有効な証明法であることは確かだ。