巨大数で遊ぼう！

第３章 みくみく順序数の研究

基本的な定義

日本語や記号に関する定義

　「　：如何なる定義にも関係しない括弧。

　」　：如何なる定義にも関係しない括弧。

　「 」　：「半角スペース 」は如何なる定義にも関係しない。

　「　」　：「全角スペース」は如何なる計算規則にも関係しない。

　「■」　：文章の装飾文字

　「・」　：文章の装飾文字。

　「❶」　：文章の装飾文字。

　「❷」　：文章の装飾文字。

　「❸」　：文章の装飾文字。

　「❹」　：文章の装飾文字。

　「❺」　：文章の装飾文字。

　「❻」　：文章の装飾文字。

　「❼」　：文章の装飾文字。

　「❽」　：文章の装飾文字。

　「❾」　：文章の装飾文字。

　「❿」　：文章の装飾文字。　

　「⓫」　：文章の装飾文字。

　「⓬」　：文章の装飾文字。

　「：」　： “𝒜 ：ℬ”　「𝒜」は記号や用語。「ℬ」は記号や用語の定義。　

　「 : 」　： “𝒜 : ℬ”　「𝒜」は計算規則番号。「ℬ」は計算規則。

　「々」　： ひとつ上の段落の計算規則に付随する計算規則。

　「 “ 」　：例文を示す括弧。

　「 ” 」　：例文を示す括弧。

　「𝒜」　：例文で使われる文字。意味はない。

　「ℬ」　：例文で使われる文字。意味はない。

　「 { 」　：演算の掛かりを示す説明的な括弧。ただし、急増加関数においては、計算の優先順位を明示する括弧。

　「 } 」　：演算の掛かりを示す説明的な括弧。ただし、急増加関数においては、計算の優先順位を明示する括弧。

　「 ⁽ 」　：演算の掛かりを示す説明的な括弧。

　「 ⁾ 」　：演算の掛かりを示す説明的な括弧。

　「 ₍ 」　：演算の掛かりを示す説明的な括弧。

　「 ₎ 」　：演算の掛かりを示す説明的な括弧。

　「 [ 」　：みくみく順序数の計算規則で使う演算記号の構成要素。

　「 ] 」　：みくみく順序数の計算規則で使う演算記号の構成要素。

　「 ( 」　：みくみく順序数の文字列の構成要素。

　「 ) 」　：みくみく順序数の文字列の構成要素。

　「 * 」　：乗算。“𝒜 * ℬ”

　「 ＋ 」　：加算。“𝒜＋ℬ”　「𝒜」に「ℬ」を加算する。“＋ℬ”の左辺に文字列がないときは「ℬ」と同値である。

　「 + 」　：加算。“𝒜 + ℬ”　「𝒜」に「ℬ」を加算する。

　「 ⁺ 」　：加算。“𝒜 ⁺ ℬ”　「𝒜」に「ℬ」を加算する。

　「 ₊ 」　：加算。“𝒜 ₊ ℬ”　「𝒜」に「ℬ」を加算する。

　「 － 」　：減算。“𝒜－ℬ”　「𝒜」から「ℬ」を減算する。

　「 - 」　：減算。“𝒜 - ℬ”　「𝒜」から「ℬ」を減算する。

　「 ⁻ 」　：減算。“𝒜 ⁻ ℬ”　「𝒜」から「ℬ」を減算する。

　「 ₋ 」　：減算。“𝒜 ₋ ℬ”　「𝒜」から「ℬ」を減算する。

　「 _ 」　：減算ではない。

　「 = 」　：等号。“　𝒜 = ℬ　”　「𝒜」は「ℬ」である。「𝒜」の文字列は「=」の左側にある「全角スペース」よりも左にある文字列を含まない。「ℬ」の文字列は「=」の右側にある「全角スペース」よりも右にある文字列を含まない。「𝒜」と「ℬ」の文字列は、その段落にある文字列に限定される。

　「 ≧ 」　：等号付き不等号。 “𝒜 ≧ ℬ”　「𝒜」は「ℬ」と等しいか、または、「𝒜」は「ℬ」よりも大きい。如何なる「𝒜 」についても整数である。

　「<」　：不等号。 “𝒜 < ℬ”　「𝒜」は「ℬ」よりも小さい。

　「〓」　： “　𝒜 〓 ℬ　”　「𝒜」は「ℬ」と表記する。「𝒜」の文字列は「〓」の左側にある「全角スペース」よりも左にある文字列を含まない。「ℬ」の文字列は「〓」の右側にある「全角スペース」よりも右にある文字列を含まない。「𝒜」と「ℬ」の文字列は、その段落にある文字列に限定される。

　「⌒」　： “𝒜 ⌒ ℬ”　「𝒜」は「ℬ」と同じ番地である。「番地」については「第３章」の「ω番地数列とコア数に関する定義」を参照。

　「∠」　： “𝒜 ∠ ℬ”　この段落にある如何なる「𝒜」に対しても「ℬ」である。段落の始めは、その行頭から１文字以上の字下げをしている。

　「段落」　：日本語の文章作法における段落。

　「⟼（ƒ）」　： “𝒜⟼（ƒ）ℬ”　「𝒜 」を写像 ƒ によって写した像が「ℬ」である。

　「 n 」　：非負整数。

　「 ⁿ 」　：非負整数。「ⁿ = n」である。

　「 ₙ 」　：非負整数。「ₙ = n」である。

　「 ʰ 」　：非負整数。

　「 ᵩ 」　：非負整数。

　「 x 」　：非負整数。

　「 ｅ 」　：１以上の整数。

　「 𝑒 」　：１以上の整数。

　「 ₑ 」　：１以上の整数。

　「 ᵨ 」　：１以上の整数。

　「 ε 」　：１以上の整数。

　「□」　：「任意の記号」もしくは「任意の数」もしくは「任意の文字列」。

　𝒜 以上　：「𝒜」を含む。

　𝒜 以下　：「𝒜」を含む。

　𝒜 以外　：「𝒜」を含まない。

　𝒜 以内　：「𝒜」を含む。

　𝒜 未満　：「𝒜」を含まない。

　𝒜 よりも　：「𝒜」を含まない。

　𝒜 まで　：「𝒜」を含む。

　「全単射」　：数学用語に同じ。

　「写像」　：数学用語に同じ。

　「像」　：数学用語に同じ。

　「関数」　：数学用語に同じ。

　「素数」　：数学用語に同じ。

　「整数」　：数学用語に同じ。

　「非負整数」　：０以上の整数。

　「みくみく順序数」　：Act.1においては、非負整数と、整数の「１」の有限回の加算で到達できない数であると定義される「コア数」との組み合わせで表記される「自然数の拡張概念」である。「みくみく順序数」は、「0」と「1」と「2」と「3」と「4」と「5」と「6」と「7」と「8」と「9」と「(」と「)」と「,」の、合計、十三種類のみの記号で表記される。

　「みくみく順序数」　：Act.1.6においては、非負整数と、整数の「１」の有限回の加算で到達できない数であると定義される「コア数」との組み合わせで表記される「自然数の拡張概念」である。「みくみく順序数」は、「0」と「1」と「2」と「3」と「4」と「5」と「6」と「7」と「8」と「9」と「(」と「)」と「/」と「[」と「]」の、合計、十五種類のみの記号で表記される。

　「みくみく順序数」　：Act.3系においては、非負整数の集合を、素因数分解の一意性を利用して組み替えた「ω番地数列」と、整数の「１」の有限回の加算で到達できない数であると定義される「コア数」との組み合わせで表記される「自然数の拡張概念」である。「みくみく順序数」は、「0」と「1」と「2」と「3」と「4」と「5」と「6」と「7」と「8」と「9」と「(」と「)」と「,」の、合計、十三種類のみの記号で表記される。

　「コア数」　：詳細は「コア数に関する定義」「ω番地数列とコア数に関する定義」を参照。

　「項」　：数学用語と同じかは不明。詳細は「コア数に関する定義」「ω番地数列とコア数に関する定義」を参照。

　「仮設」　：コア数の表記を展開する過程で、コア数を構成しない演算の記号等が、コア数の構造に一時的にある場合があるこれを「仮設」と呼ぶ。

　「加算の関係」　：「𝑒」を１以上の整数とし、関数「{𝒜} ƒ[𝑒]」について、次のように定義したとき、その如何なる「ƒの像」についても、その像の任意の「𝒜」に対して、その任意の「𝒜」以外の如何なる「𝒜」も、任意の「𝒜」と「加算の関係」にある。

　　・01:　{𝒜} ƒ[0] = {𝒜}+{𝒜}

　　・02:　{𝒜} ƒ[𝑒] = {𝒜}+{{𝒜} ƒ[𝑒-1]}

　「任意のコア数」　：「任意のコア数」とはコア数を構成する「(」と「)」の一組の括弧と、その括弧の内側にある全ての文字列である。その任意のコア数と「加算の関係」にある数は含まない。

　「任意のコア数の構造」 ❶　：任意のコア数「(Ø)」の、コア数として許容される如何なる文字列「Ø」も任意のコア数「(Ø)」の構造である。

　「任意のコア数の構造」 ❷　：任意のコア数を「𝓒」としたとき、「𝓒」と「加算の関係」にある如何なる数も、「𝓒」の構造には含まない。

　「任意のコア数の構造」 ❸　：任意のコア数を「𝓒₀」としたとき、「𝓒₀」を構造に持つコア数「𝓒ᵨ」があるならば、「𝓒ᵨ」の構造の、「𝓒₀」以外の如何なる構造も、「𝓒₀」の構造には含まない。

　「任意のコア数の項」 ❶　：任意のコア数を「𝓒」としたとき、「𝓒」と「加算の関係」にある如何なるコア数の項も、「𝓒」の項には含まない。

　「任意のコア数の項 」❷　：任意のコア数を「𝓒」としたとき、「𝓒」の構造にある如何なるコア数の項も、「𝓒」の項に含まない。

　「任意のコア数の項 」❸　：任意のコア数を「𝓒₀」としたとき、「𝓒₀」を構造に持つコア数「𝓒ᵨ」があるならば、「𝓒ᵨ」の構造の、「𝓒₀」以外の如何なる構造にある項も、「𝓒₀」の項には含まない。

　「０個以上の項に□」　：「０個以上の項に□」の記号「…□」のある任意の計算規則に対応する文字列を「𝒪」として、任意の「x 個の項に□」を展開する写像「ƒ」を以下に定義する。

　　・03:　ƒ(…□, 𝒪) = (ƒ[x])

　　　　々:　ƒ[0] = 𝒪

　　　　々:　ƒ[𝑒] = □,ƒ[𝑒-1]

　　・04:　ƒ(𝒪 ,…□) = (ƒ[x])

　　　　々:　 ƒ[0] = 𝒪

　　　　々:　 ƒ[𝑒] = ƒ[𝑒-1],□

　　・05:　ƒ(𝒪 ,…□, 𝒪) = (ƒ[x], 𝒪)

　　　　々:　ƒ[0] = 𝒪

　　　　々:　ƒ[𝑒]= ƒ[𝑒-1],□

　「Ø」　：コア数の構造として許容される任意の文字列。

　「Ǿ」　：コア数の構造として許容される任意の文字列。

　　・注釈　上記の２種の記号の違いに意味はない。

　「ᶜ...」　：０個以上の(Ø)の加算がある。同値でも同値でなくてもかまわない。　任意の「x 個の(Ø)の加算がある」を展開する写像「ƒ」を以下に定義する。

　　・06:　ᶜ...□ = ƒ[x]

　　　　々:　ƒ[0] = □

　　　　々:　ƒ[𝑒] = (Ø)ƒ[𝑒-1]