巨大数で遊ぼう！

スティグマ・アッカーマン関数

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　■　ϛアッカーマン関数で使う記号の定義　　■

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　S₁　：１以上の整数 or 「…+ϛ(B,B)+a」

　S₂　：１以上の整数 or 「…+ϛ(B,B)+a」

　e　：１以上の整数

　a　：１以上の整数

　ª　：１以上の整数

　ʷ　：０以上の整数

　z　：０以上の整数

　n　：指定なきときは０以上の整数

　ⁿ　：「n」

　…+　：0回以上の「ϛ(B,B)」の加算

　…Ｘ　：許容される任意の文字列

　ƒ [Ack(…Ｘ)]　：「Ack(…Ｘ)」に「ϛアッカーマン関数の計算規則」を適用する。

　ϛ₁　：「…+ϛ(B,B)」

　ϛ₂　：「…+ϛ(B,B)」

　ƒ [ϛ₁]　：「ϛ₁」に計算規則番号「07」を適用する。

　ƒ [ϛ₂]　：「ϛ₂」に計算規則番号「07」を適用する。

　B　：「0」or「S₁」or「S₂」or「ϛ₁」or「ϛ₂」

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　■　ϛアッカーマン関数の計算規則　■

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　ϛ（スティグマ）アッカーマン関数は、十進法表記による非負整数を構成する記号、「0」と「1」と「2」と「3」と「4」と「5」と「6」と「7」と「8」と「9」と、「(」と「)」と「,」と「Ack」と「ϛ」の記号のみで表記されるアッカーマン関数の拡張である。「ϛ（スティグマ）アッカーマン関数の計算規則」を以下に様める。計算規則は、❶計算の順序、❷写像からなる。写像は、Ack(…Ｘ)からAck(…Ｘ)または自然数への写像、ϛʷからϛ(…Ｘ)または自然数への写像、それに伴う写像「𝐒𝐭𝐢𝐠」、ϛ(…Ｘ)からϛ(…Ｘ)または自然数への写像からなる。

　❶計算の順序

　01:　Ack(…Ｘ,Ack(…Ｘ)) = Ack(…Ｘ,ƒ [Ack(…Ｘ)])

　❷写像

　02:　Ack(ϛʷ,n)

　　02-1:　ϛ⁰ = n

　　02-2:　ϛª = ϛ(ϛª⁻¹,n)

　03:　Ack(0,n) = n+1

　04:　Ack(S₁,0) = Ack(S₁-1,1)

　05:　Ack(S₁,n) = Ack(S₁-1,Ack(S₁,n-1))　{n > 0}

　06:　Ack(ϛ₁,n) = Ack( ƒ [ϛ₁],n)

　07:　ƒ [ϛ₁]

　07:　ƒ [ϛ₂]

　　07-1:　…+ϛ(0,0) = …+n

　　07-2:　…+ϛ(0,S₂) = …+{{ϛ(0,S₂-1)} ×n}

　　　　07-2-1:　{ϛ(0,S₂-1)} ×n = {ϛ(0,S₂-1)}𝐒𝐭𝐢𝐠[n]

　　　　07-2-2:　{ϛ(0,S₂-1)}𝐒𝐭𝐢𝐠[0] = 0

　　　　07-2-3:　{ϛ(0,S₂-1)}𝐒𝐭𝐢𝐠[e] = {ϛ(0,S₂-1)}+{ϛ(0,S₂-1)}𝐒𝐭𝐢𝐠[e-1]

　　08-3:　…+ϛ(S₁,0) = …+ϛ(S₁-1,n)

　　08-4:　…+ϛ(S₁,S₂) = …+ϛ(S₁-1,ϛ(S₁,S₂-1))

　　08-5:　…+ϛ(0,ϛ₂) = …+ϛ(0, ƒ [ϛ₂])

　　08-6:　…+ϛ(ϛ₁,0) = …+ϛ( ƒ [ϛ₁],0)

　　08-7:　…+ϛ(ϛ₁,ϛ₂) = …+ϛ( ƒ [ϛ₁],ϛ₂)

　　08-8:　…+ϛ(S₁,ϛ₂) = …+ϛ(S₁, ƒ [ϛ₂])

　　08-9:　…+ϛ(ϛ₁,S₂) = …+ϛ( ƒ [ϛ₁], S₂)

　09　{…+ϛ(B,B)+a}-1 = …+ϛ(B,B)+{a-1}

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　■　巨大数　■

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　n=61のときAck(ϛⁿ,n)を「スティグマ」とする。

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　■　計算例　■

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　Ack(ϛⁿ,1)=

　Ack(ϛ(1,1),1)=

　Ack(ϛ(0,ϛ(1,0)),1)=

　Ack(ϛ(0,ϛ(0,1)),1)=

　Ack(ϛ(0,ϛ(0,0)),1)=

　Ack(ϛ(0,1),1)=

　Ack(ϛ(0,0),1)=

　Ack(1,1)=

　3

　Ack(ϛⁿ,2)=

　Ack(ϛ(ϛ(2,2),2),2)=

　Ack(ϛ(ϛ(1,ϛ(2,1)),2),2)=

　Ack(ϛ(ϛ(1,ϛ(1,ϛ(2,0))),2),2)=

　Ack(ϛ(ϛ(1,ϛ(1,ϛ(1,2))),2),2)=

　Ack(ϛ(ϛ(1,ϛ(1,ϛ(0,ϛ(1,1)))),2),2)=

　Ack(ϛ(ϛ(1,ϛ(1,ϛ(0,ϛ(0,ϛ(1,0))))),2),2)=

　Ack(ϛ(ϛ(1,ϛ(1,ϛ(0,ϛ(0,ϛ(0,2))))),2),2)=

　Ack(ϛ(ϛ(1,ϛ(1,ϛ(0,ϛ(0,ϛ(0,1)+ϛ(0,1)))))),2),2)=

　Ack(ϛ(ϛ(1,ϛ(1,ϛ(0,ϛ(0,ϛ(0,1)+ϛ(0,0)+ϛ(0,0)))))),2),2)=

　Ack(ϛ(ϛ(1,ϛ(1,ϛ(0,ϛ(0,ϛ(0,1)+ϛ(0,0)+2))))),2),2)=

　Ack(ϛ(ϛ(1,ϛ(1,ϛ(0,ϛ(0,ϛ(0,1)+ϛ(0,0)+1)+ϛ(0,1)+ϛ(0,0)+1))))),2),2)

　Ack(ϛ(0,1),2)=

　Ack(ϛ(0,0)+ϛ(0,0),2)=

　Ack(ϛ(0,0)+2,2)=

　Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0)+2,1))=

　Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0)+2,0)))=

　Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0)+1,1)))=

　Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0),Ack(ϛ(0,0)+1,0))))=

　Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0),Ack(ϛ(0,0),1))))=

　Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0),Ack(1,1))))=

　Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0),3)))=

　Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(3,3)))=

　Ack(ϛ(0,0)+1,Ack(ϛ(0,0)+1,61))