徹夜で数学

(1) の解説

(A,B,C)=(4,0,6)(2,5,3)(0,10,0)

最悪文字式つかえば

a+b+c=10

70a+100b+120c=100a+100b+100c

7a+12c=10a+10c

3a=2c

(0≦a,c≦10)

(a,c)=(0,0)(2,3)(4,6)≠(8,12)

あとはB求めておしまいという簡単な話。

なるべく小学校範囲で解いてみます。

よっぽど暇で、なおかつ読みにくい文章に30分ぐらい時間を費やせる方だけお読みください。それ以外の方は次の問題へお進みください。

この問題でポイントとなるのは、

どれかを1つを固定して残り二つを考えるということ。

Aを固定したパターンは0〜8の9通り

Bを固定したパターンは0〜10の11通り

Cを固定したパターンは0〜14の15通り

なるべく考えるパターンを少なくしようと思ったらAを固定したほうが良さそう。

と思ってAを固定する人が多いかもしれない。しかし、

1000から120の倍数を引くのと

1000から100の倍数を引くのとでは

後者の方が楽なのでBを固定してみる。

総額の1000円から(Bの個数×100)を引き、

そこからつるかめ算を考えるのだが、

つるかめ算では全てどちらか一方だとして元の金額に合うように調整をする。

Bが0個のとき、残りは10個

全てCだとすると

120×10=1200円

オーバーした金額は

1200-1000=200円

AとCの差額は

120-70=50円

オーバーした分をAに置き換えるためには

200÷50=4

よってAは4、Cは6

答えの1つは(4,0,6)

オーバーした金額(さっきは1200-1000)が50の倍数でないと、答えが出てこない。よって50の倍数かどうかで答えがあるかを判断できる。

Bが1個、2個のときを例に考えてみる。

Bが1個のとき、残りは9個

残りの合計額は

1000-100=900円

残り全てCにしたときオーバーした金額は

120×9 - 900 = 9(120-100)=180

50の倍数でない

Bが2個のとき、残りは8個

AとCの合計額は

1000-200=800

残り全てCのとき、オーバーした金額は

120×8 - 800 = 8(120-100) =160

50の倍数でない

ここで、途中のくくり出しを見てほしい

Bが1個のときは

9(120-100)=180

Bが2個のときは

8(120-100)=160

先ほどはこの計算で出てきた数字が

50の倍数であるかを見分けていた。

これは

(残りの数)×20　が

50の倍数であるかということを意味しており、

×20ということは50の倍数のうち、10の倍数であることを満たしている。

ので(残りの数)×2が5の倍数になれば良い

また、2は5の倍数でないので

(残りの数)が5の倍数となればいい

したがってこの問題は

(残りの数)は0〜10であることから

0〜10の中から5の倍数を探す

というものになる。

0〜10の中で5の倍数は

0,5,10

ここからBの個数は0,5,10

Bが0個のときはもう求めた。

Bが5個のとき、残りは5個

残り全てCのとき、オーバーした金額は

5(120-100)=100

Aに置き換えるためには

100÷50=2

ここからC=3

答えの1つは(2,5,3)

Bが10のとき、残りはなし。

答えの1つは(0,10,0)

したがって

(A,B,C)=(4,0,6)(2,5,3)(0,10,0)

(残りの数)←これは小学範囲ではタブーでしょうか？

有識者の方がいらっしゃいましたら、ぜひ教えていただきたいです。

力技で11通り、あるいは9通り全部を試すのもありかと。

小学校範囲で解けるようにしたつもりです。

代数使えないとほんと身動き取りづらいですね…