応援コメント遅くなり申しないです。いつも最速でコメントくれてるのに……。
解答見て、「あぁこっちの方が計算楽だった」って思いました。
正直、この問題を解くのに30分くらいかかって「俺が受験生なら不合格だな」なんて思いました笑
以前コメントで頂いてた「両方を仮定し、成立前に使うのは危うい」ですが、正しく危ういです。危ういがこっちのほうが0＜a(n)=＜1/2を示すのに手っ取り早いかなと思ったのですが……。いや、現役受験生には勝てませんでした笑。

面白い問題でした！　いや、シンプルで数学的に美しい。
数学的帰納法を用いる
ｎ＝1　のとき　は示されているので自明
ｎ＝ｋのとき成立と仮定するとa(k)=<a(k+1)で、0<a(k)=<1/2
ｎ＝ｋ+1のときは
数列はa(k+2)=2a(k+1)(1-a(k+1))と表せて、なおかつa(k+1)=<a(k+2)となるので
a(k)=<a(k+1)=<a(k+2)=2a(k+1)(1-a(k+1))

取り出すと
a(k) <= a(k+1)<=2a(k+1)(1-a(k+1))
計算すると
1/2 =< 1 - a(k+1) 　つまり　a(k+1) =<1/2・・・①　つまり　a(k) =< a(k+1)
よってn=k+1も示せた
以上より数学的帰納法によりa(n)=<a(n+1)

①より0<a(n)=<1/2　なので はさみうちの原理？だっけ
lim(n→∞)a(n)=1/2
これの証明って公式使うか、ε-δ論法で詰めるかわからなかった