放課後は数学で

問10 これは私がリアルに出題された問題です

出題（これはガチでめんどくさい。出題されたら他の問題に時間かけたほうがいいレベル）

　cos5θ　を求めよ

「お、吉田教諭はまたシンプルかつ単純な問題を宿題にしたねぇ

　でも大学受験にも頻出だから解ければいいね」

　無理

「諦め早すぎ。というか教科書の後ろのほうに公式載ってるけど」

「教科書は難しすぎて理解できない」

　遊くんは、はぁぁぁぁとため息１つ

「なんで理系クラス選んだの？」そんなの決まってる

「遊くんがいるから」遊くんはまた、はぁぁぁぁとため息して

「こんなん自力で解けなきゃ俺と同じ大学なんて夢のまた夢だね」って

じゃあやってみる

　そして強制下校時間になるまで、刹那はまったくもって解けなかった。

以下　解説

　(sinα)^2＋(cosα)^2＝1　から　(sinα)^2＝1－(cosα)^2

　cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ （加法定理）

　cos2α＝2(cosα)^2－1’(=sinα)^1

　sin2α＝2sinαcosα

　cos3α＝4(cosα)^3－3cosα

　sin3α＝3sinα－4(sinα)^3

まぁ公式を覚えていれば

sin3θ=3sinθ-4sin³θ

cos3θ=4cos³θ-3cosθ

　で計算が楽になる。

cos5θ＝cos(3θ＋2θ)

　　　　　＝cos3θcos2θ－sin3θsin2θ・・・に代入して

＝{4(cosθ)^3－3cosθ}・・・（１）

　{2(cosθ)^2－1}－{3sinθ－4(sinθ)^3}{2sinθcosθ}・・・ここはまだ計算できる

　＝－2{3－4(sinθ)^2}{(sinθ)^2}cosθ

　＝－2[3－4{1－(cosθ)^2}]{1－(cosθ)^2}cosθ ・・・（２）

以上より（１）（２）はcosθでくくれて、cosθの形に変形すると

cos5θ　＝　16(cosθ)^5－20(cosθ)^3＋5cosθ

途中式書くと数学が嫌いな人が増えちゃうので、できるだけ単純にかつ公式を使って簡略できる方法を書きました。

　ちなみに、ド・モアブルの公式にまんま答え載ってます。覚える価値があるかは微妙です。