放課後は数学で

問４これは中学受験に出てきそうな問題です（問題自体は有名）

　出題　（モンティ・ホール問題）（クイズ大会の司会者がモンティ・ホールだったからこの名がついたと言われれている）

　今日の問題は頭の体操にしようかと、遊くんは『イタズラが成功した』子供みたいにかわいい笑顔で……かっこいい。

　さて本題（箱の数は簡単のため３とする）

　3個の箱には1つの当たりと2つのハズレが存在する。（当たりには商品、ハズレは空）

　まず1つ箱を選ぶ。

　その後、正解を知っている司会者（モンティ）が残り2つの箱からハズレの箱を1つ選ぶ。

　ここであなたは最初に選んだ箱と残っている1つの箱の好きな方を選ぶ

　当たりを引く確率を上げるためには、最初に選んだ箱のままか、変えたほうがいいか選べ

　ぬぬ　1/2　じゃないの？　どっちでもいいじゃん

　場合分けすれば解ける？

「お！　冴えてるね。そのまま考えてごらん」遊くんは『子供が真面目に勉強してるのが嬉しい』って感じでニコニコしてる。

　……場合分け。うーっむ。最初に選んだのが当たり　or　ハズレ　で場合分けしてみようか、、、

　①最初に当たりを選んだ→モンティはハズレを選ぶ→変えないままでいい

　②最初にハズレを選んだ→モンティはハズレを選ぶ→変える→当たり

　ほら……1/2　だよぅ。

「だいぶ論理的思考力が付いたね」うんうんと嬉しそうにしてくれることが嬉しい。

「じゃあ……これはほぼ答えだけど、②の場合のハズレって2パターンあるよね？」

　あぁぁぁぁなるほど。解った。やっぱり遊くんの教え方って上手だと思う。

　以下　解説　

　モンティがハズレを1つ確実に選ぶ。これは確定事項。しかしモンティがどちらのハズレを選ぶかは決定していない。

　以下の確率を求める

　当たり→ハズレ1→ハズレ2→1/2　*　1/3　＝　1/6　（交換しない）

　当たり→ハズレ2→ハズレ1→1/2　*　1/3　＝　1/6　（交換しない）

　ハズレ１→ハズレ2→当たり→1/3　（交換する）

　ハズレ2→ハズレ1→当たり→1/3　（交換する）

　以上より、交換しない場合の確率が1/6+1/6＝2/6＝1/3

　　　　　　交換した場合の確率が2/3　

　よって交換した方が2倍確率が高くなる。