どうせなら厳密なほうがいい

第25話 順序数 定義

「ごちそうさまでした」

「ごちそうさまでした」

二人は揃って昼食のコースを食べ終え、お茶を飲みながら語る。

「今日はたくさん時間があるから、順序数の話をしたいと思う」

「順序数…先週藍から聞いたけど、なんのことだかさっぱりだよ」

「そうだね。まず数にどんな種類があるか、を考えてみようか。実は小学一年生で初めて数に触れるとき、"集合数"と"順序数"という2つの数を意識して習う。"集合数"とは、集合の大きさを表す数だ。"順序数"は何番目かを表す数で、数を習い始めてすぐに同一視してしまう。でも、4日間と4日目、と言ったら区別して考えるし、英語でfourとfourthははっきり区別して考えるよね」

「fourとか4日間とかが集合数、4日目とかfourthとかが順序数だね」

「そう。この2つは同一視して考えてもさほど問題ないけど、無限の大きさまで考えると、少し厄介なことが起きる」

「というと？」

「同じ大きさの集合でも、順序、つまり整列のさせ方を異なるようにすることができる」

「整列…」

「順序数を考える上でのキーワードは"整列"と"順序"だ。順序とはつまり大小関係のことで、いわゆる"小なり"記号だね。全ての集合に自由に順序を入れることができる。いま考えたい順序は、推移律と三分律を満たすような順序だ」

「ちょっとノート出していいかな。覚えられない」

「いまはよしておこう。行きたい喫茶店があるから、そこに移動しない？」

「いいね。もう出る？」

「急いでるわけではないから、ゆっくりしてから出よう。楽しみは後にとっておこう」

二人は、今日の昼食の感想や、連絡も取れないほど忙しかった5日間について、一時間ほど話してから店を出た。

「行きたかった喫茶店って、ここ？」

「そう。ここから始まった論理式の話だから初心に帰ってみよう」

そして、二人は喫茶店ブラザーズに入った。

「いまから全順序集合を定義したい。全順序集合とは簡単にいえば、どのような二つの要素を取ってきても、大小比較ができる集合のことだ。いろいろな流儀があるけれども、"小なり"を使って狭義全順序を定義しよう。いろいろな流儀というのは、定義に使う順序は今から使う"小なり"ではなく"小なりイコール"もあるからだ。"小なり"のほうは"狭義全順序"、"小なりイコール"のほうは"広義全順序"と呼ぶ。まあここら辺の細かい話は今は特別気にしなくてよい」

集合Sと二項関係<が全順序であるとは、

∀x,y,z∈S((x<y∧y<z)→x<z)

∀x,y∈S((x<y∨x=y∨y<x)∧(x<y→￢(x=y∨y<x)∧(x=y→￢(x<y∨y<z))∧(y<x→￢(x<y∨x=y)))

の2つを満たすことをいう。

「ちょっと待って、2つ目が読む気失せる長さだ」

「日本語にすると楽」

集合Sと二項関係<が全順序であるとは、

①任意のSの要素x,y,zについて、

「x<yかつy<z」ならばx<z

②任意のSの要素x,yについて、

x<yまたはx=yまたはy<x

のどれか一つのみを満たす

の2つを満たすことをいう

「どれか一つのみ、っていうのを書くのが少し難しいだけ」

「そっか、"または"は2つ満たしてもいいんだもんね」

「そういうこと。①を推移律、②を三分律という。さて、全順序集合Sが整列集合であるとは、任意の空でないSの部分集合Aが最小元を持つ、っていうのはやったんだっけ？」

「うん。Sの部分集合Aが最小元を持たないならAは空集合、っていうように習ったけど」

「論理式で書ける？」

湾はノートにゆっくりと式を書いた。

∀A(∀x((x∈A→x∈S)∧￢∃y∈A(∀z∈A(y≦z)))→A=∅)

「よし、いいね。じゃあ、一つ全順序集合の例を作ってみて」

「どんな集合でもいいんだよね、例えばこれはどう」

湾はノートに書く

{2,3,8}

「二項関係は？」

藍が聞く。

「えっと、"小なり"」

「通常の自然数に対する"小なり"でいいね。今回は次のように定義してもよい」

2<3∧2<8∧3<8

「これに三分律を課しても矛盾なく定義できて、全順序になる。全部書き出してしまえば、全順序であることがはっきりする」

xとyの組に対して

2=2

2<3

2<8

3>2

3=3

3<8

8>2

8>3

8=8

ただし、x>y:↔y<xとする

「いいね。じゃあこれは整列集合になってる？」

「うん、なってる。空でない部分集合を全部書き出せば」

{2}最小元は2

{3}最小元は3

{8}最小元は8

{2,3}最小元は2

{2,8}最小元は2

{3,8}最小元は3

{2,3,8}最小元は2

「となって、すべて最小元を持っているね」

「よし。このような整列集合に対して順序数を定義できる。順序数の定義はこうだ」

集合Sと二項関係<が整列集合を成すとする

このとき、定義域をSとする関数Gを次のように定義する

G(x)={G(a)|a<x}

このとき、(S,<)の順序数をord(S,<)と書き、次のように定義する

ord(S,<)={G(k)|k∈S}

「えっと…読み解けそう…というか簡単そうなのに、なんかすごい理解を阻んでくる」

藍は微笑んでいる

「え？沈黙？解説はなし？」

「自分で読み解きたいとは思わない？」

「えっと…定義域ってなんだっけ」

「関数Gに代入できる項の集合」

「うん、あの、確かにわからない言葉はないんだけど、なんだろう、この何を言っているか全然わからない感じ」

「よし、具体例と一緒に見ていこう。今、集合Sを{2,3,8}としよう。二項関係<は通常の<だ。ここで関数Gがどのようなものかを見てみよう。ゆっくりとね」

G(x)={G(a)|a<x}

「ここがまず難しいポイントだけど、まず、定義域が{2,3,8}なので、G(2)から考えよう。まず代入する」

G(2)={G(a)|a<2}

「ここで、2より小さいaを探そう。aは定義域の中から探す。どう？」

「{2,3,8}に、2より小さい要素は無いよ」

「その通り。aが存在しないので、G(a)も存在しない。だから、これは空集合になる」

G(2)={G(a)|a<2}=∅

「なるほど。G(2)は計算できるんだね」

「そう。そして、G(2)が計算できると、G(3)も計算できる。まず代入しよう」

G(3)={G(a)|a<3}

「ここで、aとして3より小さいS={2,3,8}の元を探してみて」

「2だね」

「ほかにはある？」

「ない」

「つまりこうなる」

G(3)={G(a)|a<3}={G(2)}={∅}

「な、なるほど。早くいきすぎると途端にわからなくなりそうだけど」

「大丈夫。練習あるのみ。G(8)を見るよ。8より小さいSの元がaの候補で、これは2と3だ」

G(8)={G(a)|a<8}={G(2),G(3)}={∅,{∅}}

「あ、ああ、そうだね。今までの結果をどんどん使うんだ」

「そう。数学的帰納法に似てるでしょ」

「なるほど、はじめのステップを決めて、それからどんどん連鎖させていくんだね」

「そういうこと。まとめると、こうなる」

G(2)=∅

G(3)={∅}

G(8)={∅,{∅}}

「おおすごい。全部求められた」

「順序数の定義をもう一度確認しよう。今、3行目までわかったはずだから、4,5行目を理解するよ」

集合Sと二項関係<が整列集合を成すとする

このとき、定義域をSとする関数Gを次のように定義する

G(x)={G(a)|a<x}

このとき、(S,<)の順序数をord(S,<)と書き、次のように定義する

ord(S,<)={G(k)|k∈S}

「なんか、2,3行目とすごく似てるね」

「似てるけど、やってることはかなり違うかな。Sに{2,3,8}を代入して読むとこう」

このとき、({2,3,8},<)の順序数をord({2,3,8},<)と書き、次のように定義する

ord({2,3,8},<)={G(k)|k∈{2,3,8}}

「ここで、最後の式に注目しよう」

藍は式を指さす。

{G(k)|k∈{2,3,8}}

「これはこういう意味だ」

{G(2),G(3),G(8)}

「あれ、これはもう計算済みだね」

「その通り」

ord({2,3,8},<)

={G(2),G(3),G(8)}={∅,{∅},{∅,{∅}}}

「どう？理解した？」

「ちょっと待って、この最後のが順序数？」

「そう」

「数に見えない…」

「そうかな。まず0が空集合だったの覚えてる？」

「うん」

「そして、フォン・ノイマン構成による自然数は、自身未満の自然数の集合だ」

0=∅

1={0}

2={0,1}

3={0,1,2}

4={0,1,2,3}

5={0,1,2,3,4}

6={0,1,2,3,4,5}

…

「これを一つずつ代入して直してみようか」

0=∅

1={0}={∅}

2={0,1}={∅,{∅}}

3={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}

4={0,1,2,3}={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}

5={0,1,2,3,4}={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}},{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}}

6={0,1,2,3,4,5}={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}},{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}},{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}},{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}}}

猛烈な勢いでカッコと∅を書いていく藍。湾は慌てて静止する。

「わかった、わかったからちょっと待って」

「せっかく楽しんでたのに…」

「さすがにこれは何というか…少しやりすぎ」

「綺麗でしょ」

「まあ、なんというか、6がこんなに巨大な数だとは思わなかったよ」

「ところで、G(2),G(3),G(8),{2,3,8}の順序数,をそれぞれ見てみよう」

G(2)=∅

G(3)={∅}

G(8)={∅,{∅}}

ord({2,3,8},<)={∅,{∅},{∅,{∅}}}

「あっ！！！これは…これはすごいぞ！！！」

「そう。うまく数と呼ぶにふさわしいものになっているね」

G(2)=∅=0

G(3)={∅}=1

G(8)={∅,{∅}}=2

ord({2,3,8},<)={∅,{∅},{∅,{∅}}}=3

「おもしろいのは、順序数は整列集合ならそれだけで順序数が対応するところ。たとえば、こんなこともできる」

S={あ,い,う,え}

≺:五十音順

とすれば、定義域を{あ,い,う,え}とする関数Gが定義できて、

G(x)={G(a)|a≺x}

G(あ)=∅=0

G(い)={G(あ)}={∅}=1

G(う)={G(あ),G(い)}={∅,{∅}}=2

G(え)={G(あ),G(い),G(う)}={∅,{∅},{∅,{∅}}}=3

ord({あ,い,う,え},≺)

={G(あ),G(い),G(う),G(え)}

={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}=4

となる。

「すごい、どんな文字や記号でも自然数になっていくんだね」

「しかし、順序数がすごいのはここからだ。有限集合Sの元の個数がぴったり順序数を表しているのはいいとして、無限集合Sの順序数はさらに豊かな構造を見せてくれる」

運ばれてきた紅茶とコーヒーに目もくれず、そろそろ冷めてしまうというのに、ますます二人の話は熱中していく。