どうせなら厳密なほうがいい

第9話 基本的な記号、用語

「ただいま」

湾が帰宅する。夜の6時である。

「おかえり。どうだった？」

「まずまずかな。とりあえず、次の仕事にはなりそうだ」

「何より。疲れてる？」

「ちょっとね。藍は？」

「今晩が楽しみで、今は疲れてられないな」

「そんなに？論理式ってそんなに楽しいの？」

「違うよ、湾と一緒にいるのが楽しい」

「嬉しいこと言ってくれるね」

「さて、まずは荷物降ろして、ゆっくりして」

「うん、ありがとう」

藍は湾をちゃぶ台の前に座らせる。

「こんなの買ってきたんだ」

「なに？おみやげ？」

「そう。紅茶」

「すごい、嬉しい。どんな紅茶なの？」

「セイロンティーたよ。スリランカのお茶で、単一産地銘柄」

「さっそく淹れるね。湾は座ってて」

藍は、ミネラルウォーターを沸かす。

「私はクッキーを用意しといたよ。別に私が焼いたわけじゃないけどね。バターの香りが素晴らしいの。紅茶と一緒に食べよう」

藍はクッキーを用意する。茶葉をポットに入れ、湧いたお湯を少しだけ冷ましてから優しく注ぐ。

「さて、早速だけど確認をしよう。まずは…自然数からだね」

自然数全体の集合ℕを次のように定義する。

ℕ:={0,1,2,3,…}

「ちょっと待って」

「どうしたの？」

「今朝、このカッコ{ }は論理式の記号じゃないって言ってなかった？」

「今夜は慣例的な記号も使うから、柔軟に対応してね、とも言ったよ」

「そうだった…けど、なら今朝のことはなんのためにやったのかな…」

「なんのためだったんだろうねえ」

「じゃあ、それは良いとして、自然数って0は含まないのでは？」

「0は自然数でないという立場もあるけれど、私たちは0を自然数にするよ。これは二人の決め事」

「そんなことしていいの？」

「0を自然数にする人たちは多いよ。まあ状況によって変わるから、自然数という言葉は誤解を生みやすいね。0を含まない場合は正整数、0を含む場合は非負整数、とか言ったりするけど、」

藍は湾の唇に指をあてて言葉をつないだ。

「私たちの約束」

藍はさらに続きを書く。

整数全体の集合ℤを次のように定義する。

ℤ:={…,-2,-1,0,1,2,…}

「ちょっと待って」

「どうしたの？」

「これはこれでいろいろツッコミどころがあるよね」

「たとえば？」

「テンテンテン"…"ってなんだよ、とか」

「でもわかるでしょ？」

「厳密ではないのでは」

「いいこと言うね。次いくよ」

藍は我関せずで先に向かう。

有理数全体の集合ℚを次のように定義する。

ℚ:={x/y|x∈ℤ∧y∈ℤ＼{0}}

「ちょっと待って」

「どうしたの？」

「さっぱりなんですけど」

「それは説明してない記号があるから仕方ないね。でも有理数って言葉は知ってるでしょ」

「うん、整数分の整数だよね。1/3とか、-2/5とか、58/19とか。それから0とか-7とかも」

「分母に0が来ないことも言えばそれでオーケー。それを論理式で言っただけだよ」

「あー、そうなのか。でも知らない記号が…」

「差集合だけ説明しよう。逆スラッシュを使う」

A＼Bを次のように定義する

∀x(x∈A＼B↔(x∈A∧x∉B))

「とりあえず、AからBの要素を取り除いたものだと考えておけばよい」

「まあ、言いたいことはわかったよ」

実数全体の集合ℝを次のように定義する。

ℝ:={(A,B)|(A∪B=ℚ)∧(∀x∈A,∀y∈B(x<y))∧￢∃x(x=min(B))}

「ちょっと待って」

「どうしたの？」

「さすがにこれは意味不明ですよね」

「なんで丁寧語？」

「意味不明すぎて」

「意味不明」

「説明する気ある？」

「今はない。ところで実数ってどんなものか知ってる？」

「πとか0.12345…とか、4とか、-2.3912…とか、数直線上の全ての数、かな」

「まあ、そんな感じでいい。無限小数で表せる数全部、といっても楽しいかな」

「なるほど」

「実数はぼんやりと言うことはできるけど、厳密に作ろうとすると難しい。少なくとも今晩のメインディッシュ、イプシロン-エヌ論法を知らないと無理だな」

「わかったよ、とりあえず、Rみたいな記号が実数なのね」

「そう」

複素数全体の集合ℂを次のように定義する。

ℂ:={x+yi|x,y∈ℝ}

湾は黙っている。

「あれ？ちょっと待って、はないの？」

「なんか途端に簡単になったし、まあいいかって」

「ってことはこれは理解できたのね」

「この書き方でいいのかどうかはよくわからないけど、とりあえず、実数と、実数に虚数単位iを掛けたものを足したってことがわかる」

「そうだね。具体例は？」

「3とか、-πとか、2iとか、2.4-3.9iとか、0も」

「そうだね。それで良い。じゃあ、次の論理式は正しいかな？」

ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ

「うん、正しいと思うよ」

「そうだね。だんだん数の集合が大きくなっている。それでは、まだまだ前菜、いくよ」

絶対値|・|の定義

絶対値とは、原点との距離であり、次の式で定義される。

|x|:=d(0,x)

ただし、d(a,b)はaとbの距離。

特に、次が成り立つ。

∀x∈ℝ→((x<0→|x|=-x)∧(x≧0→|x|=x))

「下の式の言いたいことは、実数xの絶対値はxが負だったら-x、xが正だったらxのまま、という意味だ」

「なんか今日は論理式多めだね」

「そうだよ、論理式の話をするんだからね。わかりそうなところは理解するのを頑張ってみればいいし、わからなさそうなところは飛ばしていけばよい。でも、いろんな論理式に触れて、実際に書いてみるのが、論理式に慣れるのに一番の近道だ」

「そうだと思う。頑張ってみるよ」

「楽しんでみて」

「うん」

集合の外延的定義

{x₀,x₁,x₂,…,xₙ₋₁}を次のように定義する。

∀t(t∈{x₀,x₁,x₂,…,xₙ₋₁}↔(∃m(m∈ℕ∧m<n∧t=xₘ)))

「これは集合のカッコ{ }をしっかり定義しようとしたもの。まあ、論理式は難しくても、言ってることは集合のカッコ{ }に書いてある項すべて、かつそれのみの集合になっている、ということだ。集合の要素を全部並べたものを集合の外延的定義という。あ、難しかったら飛ばしていいからね」

集合の内包的定義

{f(x)|φ(x)}を次のように定義する。

∀t(t∈{f(x)|φ(x)}↔(t=f(x)∧φ(x)))

「あのさ、藍」

「何？」

「さっきからわからないこと前提で書きまくってるでしょ。楽しそうでなによりだけど」

「そうだよ。でも、きっと、きっとね。うちらが勉強を続けていって、このページに戻ってきたとき、きっと簡単に読めるようになってるはずなんだ。今これがまったくわからなかったら、その感覚を頭の片隅に入れておいて。そして、力がついたときにこのページを読んで、全然違う見え方をする感覚を味わってほしいんだ。これは未来の湾へのプレゼントなんだよ」

「そういうものなの？」

「うん。でも集合の内包的定義はちゃんと知っておいてほしいから、補足説明するね」

{x|xをつかった論理式}

「という形で集合を書くことがある。このとき、"xを使った論理式"が成り立つようなxすべて、という集合だ。日本語を使うとたとえば、」

{x|xは正の3の倍数}={3,6,9,12,…}

「となるよ。論理式は無限を扱えるから、全て列挙はできない、つまり外延的に書けない集合も内包的には書けることがあるんだ」

「わかった。これも高校生のときにやったことがある気がするね」

「うん。とりあえず、イプシロン-エヌ論法の準備は整った。集合の外延的定義や内包的定義は使わないから安心して。そして、私の作った料理も食べてほしいな」

「料理って、教科書か何か作ったの？」

「違うよ、言葉のままの意味の夜ごはんだよ。今日のメニューは、海鮮サラダ・ホワイトシチュー・ローストビーフに…それからデザートもあるよ」

「すごいね。そんなに用意したの？」

「言ったでしょ、今日は楽しみにしてたって。食べたらイプシロン-エヌ論法だよ」

「なんだか楽しみになってきたな」

藍は満面の笑顔で食事の準備を始めた。