どうせなら厳密なほうがいい

第4話 部分集合

街を当てもなく散歩して、電車に乗る。

「今日そっち泊まっていってもいい？」

湾が聞く。

「いいよ」

藍は答える。

「ありがとう」

席は空いていない。並んで立つ二人。

特に話すことはない。何も話さなくても、何も気まずくなることはないのだから、これでよい。

お互いがまったく別々のことを考えていても、なんの問題もないんだから。

藍の最寄駅に着くと、厳しく尖った三日月が輝いていた。

「綺麗な月だ」

湾が呟く。

「私は"月が綺麗ですね"は嫌いだ」

「"我、君を愛す”のほうがいいか？」

「比較的良いけど、わざわざ文語で言わなくても良い」

「愛してるよ」

「おっと、月が綺麗なことを言いたかっただけだろうに、別の言葉を要求してしまったな」

「そうかもね」

「ありがとう」

家までの道のりは500mほどだ。

「ところで湾は高校数学覚えてる？」

「まずまず、かな…」

「それは覚えてるとは言わないな。じゃあ、部分集合ってなんだっけ？」

「ある集合の一部分だけとってきた別の集合…とかかな」

「湾はそれで満足？」

「どういう意味？」

「集合{1,2,3}の一部分をとってきた別の集合{1,2}は確かに部分集合だ。では、集合そのものをとってきた別ではない同じ集合{1,2,3}は部分集合か？」

「部分集合だね」

「そして、一部分すらとってこない空集合{ }は部分集合か？」

「部分集合だね」

「厳密にしたいと思わないの？」

「思うよ」

「じゃあ、今夜の晩酌のネタは決まったな。飲み物が必要だからコンビニに寄ろう」

コンビニの会計では湾が全額払う。宿泊費のようなものだ。藍は会計している間にすでに外に出て待っている。

家に着くと、ビールと日本酒と、いくばくかのおつまみをひろげる。

「さて、部分集合をしっかり定義しよう…、湾ならどうする？」

「そうだな、

集合Aが集合Bの部分集合であるとは、Aの要素は全てBの要素であること

なんてのはどうだ？」

「最高だ。じゃあ論理式にしよう」

そうして藍はノートに書いた。

部分集合の定義

集合Aが集合Bの部分集合であることを次のように定義する。

A⊂B:↔∀x(x∈A→x∈B)

「どう？質問は？」

「まず、右向き矢印がわからない」

湾は→を指差す。

「これは、"ならば"という記号だ。この記号のルールを説明するのにはまだ少し知識が足りない。今は、

X→Y

は

XならばY

と読み、

Xが成立するという条件のもとでYが成立すること

という意味で捉えよう」

「OK。なら、これは…」

湾は指でなぞりながら考える。

∀x(x∈A→x∈B)

「全てのxに対して、xがAの要素ならば、xはBの要素でもある」

「そのとおりだな」

「少なくとも例がいくつかほしいな」

「もちろん、練習だ」

藍はノートに書く。

{2,4,5}⊂{1,2,3,4,5}

「これを確かめてみよう」

「わかった。まず、全てのxを考えるけど、x∈{2,4,5}の条件のもとで、x∈{1,2,3,4,5}が成り立つかを考える、ってことだね」

「そのとおり」

「ではxが2か4か5のときだけ考えればよくて、xが2のときは2∈{1,2,3,4,5}だからオーケー。4のときも5のときもオーケー。だから成り立つ」

「いいね。私にビールついで」

「オーケー」

「よし。じゃあ、

{3,4}⊂{1,2,3}

は成り立つか？」

「ふむ。これは、xが3のときと4のときを考え、

3∈{1,2,3}

はOK。

4∈{1,2,3}

はどうやら成り立たないな。なので、{3,4}は{1,2,3}の部分集合ではない」

「そのとおりだ。それを式にすると？」

「これを式に？」

「成り立たない、ということを式にできない？」

「そんなの知らないよ、成り立つとか成り立たないとか記号があるの？」

「いや、私が悪かった。単純に、成り立たない式を否定する式を作ろう」

「ああ、わかった」

湾は次のように式を書いた。

¬({3,4}⊂{1,2,3})

「うん、いいよ。じゃあ、

∅⊂{1,2}

はどう？」

「えっと、調べるべき集合が見当たらない…」

「X→Yを否定できるときは、Xが成立する条件のもとでYが成立しないときを探せばいい。見つからなければ成立する」

「なるほど、これを否定できる集合xが見つからないから成立か」

「そのとおり。ついでに

{1,3}⊂{1,3}

はどう？」

「xが1でも3でも成立。だから成立だ」

「そのとおり。私は酔いました」

藍は気付けば結構飲んでいる。湾の首に絡んでそのまま倒れ込む。湾は仄明るい照明が少し邪魔に感じられて、ぎりぎり手を伸ばして照明を消し、しばし目を閉じることにした。