どうせなら厳密なほうがいい

第2話 すべて、そんざい、否定

「なんか人多いね。とりあえず注文くるまでに書いとくか」

藍はバッグからノートとボールペンを取り出した。

0の定義

∀x(x∉0)

「以上」

「さっぱりだな・・・、これは質問して・・・いいんだよな？」

「当然」

「このAを逆にした文字はなんだ？」

「全ての、と読む。量化記号の一つで、量化記号は∀と∃がある」

「なるほど。で、どういう意味になるんだ？」

「意味か・・・まあそうだな、意味を考えるのは楽しいから考えよう。

　∀x( ... )

と書いたら

全てのxに対し・・・

と読み、その通りの意味を期待する。ただし、ここでいうxとは集合のことだ」

「なるほど。ってことは今回は

全てのxに対し、x∉0

ってことだな。このxのあとの括弧は絶対必要？」

「まあ、場合によって略すときはあるけど、必要」

「OK。で、この記号はなんだ？」

湾は、∉を指さす。

「これは

x∉y

と書いて、xはyの要素ではない

とか、xはyに属さない

などと読み、その意味を期待する。これは実は

￢(x∈y)

の省略形だ。記号が多くなって面倒だが、

￢( ... )

は、...ではない

と読み、その意味になる。

x∈y

は、xはyの要素である

とか、xはyに属する

等と読む。

y={x}

ならxはyに属しているので、

x∈y

y={2, a, x, b}

でも、xはyに属しているので

x∈y

y={3, 5}

はxはyに属していないので。

x∉y

y={{x},b}

もxはyに属していないので

x∉y

となる」

「最後マジか」

「うん、最後のyの要素は{x}とbだからね。どちらもxではない」

「了解。でこの記号の説明は？」

湾は￢を指さす。

「否定の記号。

￢( ... )

の...の部分に論理式が入り、それを否定する。否定の記号に課された役割は次の三つだ。

￢(￢( ... ))↔...

￢(∃x( ... ))↔∀x(￢( ... ))

￢(∀x( ... ))↔∃x(￢( ... ))

まあ、適度に括弧は略すことが多いけど。どう？」

突然目を合わせてくる藍に湾は驚く。

「いや、これは複雑すぎる。まず両向き矢印ってなんだ」

湾は↔を指さす。

「同値の記号だ。

⇔

とも書く。ところでそろそろ店員でも呼んだらどうだ？いま一人空いているみたいだが」

「う…わかったよ」

何が分かって何がわからないのかわからないが、とにかく注文をすることにした。

湾はチーズケーキと紅茶。

藍はクッキーとコーヒー。