モーンダリング草子

第6話 無限公理の事

　素朴集合論の矛盾を解決するための Y2無限公理（以下 Y2 省略）

　無限公理とは素朴集合論で無限を集合にすると矛盾が起こるとゆう問題を解決するために 無限とは何かとゆうことを無限公理によって定義してしまい 無限公理に立脚して矛盾を解決しようとする そのための公理です.

　ここで重要な事は無限公理が公理としてなりたっているかにつきます.

　無限を公理としてあつかうためにひとつの技法としてちょっとしたくふうが必要です.

　観念 概念としての無限では漠然としていてあつかいずらので 実際に存在するはずである無限あるいは無限の状態にあるものを探すことにしましょう.

　いま人が 果てのないものを思い浮かべようとすれば おおくのひとが宇宙を思い浮かべるとおもいますが 本当に宇宙は無限でしょうか?

　わたしは宇宙は無限とはおもいません.

　宇宙は明らかに曲率をもっていてその大域的 全体的な形は薄い円盤状だとおもいます.しかし空間が曲がっていることとはちがいます.

　鞍形宇宙を示唆するひとがおおくいるようですが 違うとおもいます.

　宇宙空間はけして曲がってはいないでしょう.いま流体 液体の分子がある量あるとします.わかりやすい例は水槽にはられた水ですが 水槽にはられた水は曲がることがないのは容易にわかるところです.

　観測できない極小の空間の要素が流体のようにみちているとすれば 空間は曲がらないといえるでしょう.電子のオーダーでも観測はこんなんですが 極小の空間の領域はまったく観測する道はありませんが おそらくただしいとおもいます.

　宇宙は形をもっています.それは有限であることとまったくおなじことです.はんたいに果てのないものはけして形をもつこはできないのは必然的にわかることでしょう.

　どうして宇宙論のようなことを展開したかとゆうと宇宙の内には実際に無限の状態にあたるものはないとゆうことを示したかったからです.

　さらにでは 宇宙はどこにあらわれのか を' かんがえて ここに宇宙がうまれた場とゆうものがあると仮定したいとおもいます.

　この場は果てがなく地のようにひろがっていて形をもたない おもてに現れるものはなにもない無限の場です.

　このような場はふたつかさねることはできない絶対状態ですから絶対場とよぶことにします.

　実際にある無限として想定されるのがこの絶対場で 無限公理とはこの場がもつはずである性質を考察することによって無限とはなにか定義しようとするものです.

　まずさきにも述べたように果てのないものをかさねることはできない.無限をかさねることはできないとおなじことです.

　実際に存在する無限はこの場ただひとつだけですから地のように果てなくひろがるこの場はどこであっても違いはまったくない完全同一です.

　またどこまでもひとつの場としてのひろがりであって連続してのひろがりではありません.どこまででも同一でひとつのものであり 数のような連続するものをおくこともできないし 空間ともちがいます.

　この場は形をもちませんが空とか無とはちがいます.無形ですが性質もって存在する場ですから この場があるとゆうことは本当の意味での空や無は存在しないとゆうことになるでしょう.

　果てがないとゆうことは曲率をもたない まがりがまったくない まったいらでなければならないでしょう.

　すこしでも曲がりがあればかならず円のようにとじてしまい形をもつことになるので有限とゆうことになるからです.

　この場は無限遠 無限大 無限小どの向きにも果てがないので 無限大 無限小は無限として同一の状態であり区別はできません.無限は両義的性質を内在しているといえるでしょう.

　またこの場はどこであっても同一等価です.いま便宜としてこの場に一点をとるとすれば どの向きにも果てをもたないので放射対称にどの向きにもはてがなく等しいことと同じことですから どこをとっても完全平行の場とゆうことになります.

　これまでが実際に存在すると想定される無限の状態としての絶対場の考察です.

　数学での観念 概念の無限であっても実際に存在する無限の状態のもつ性質にそぐわないことはなりたたないでしょう.

　数学でいう無限は便宜的な無限とゆことで たとえば基礎論的な数直線の考え方もただしいとはいえないでしょう.無限は果てなくひとつの無限であってどこをとっても完全同一でわけるこのできない絶対状態であり無限は連続するものではなく無限につづく数とゆう考え方も厳密にはなりたちません.かならずある極限をもつはずです.

　集合論の矛盾の問題を絶対場の考察に照らしてみていくことにします.

　集合とは集合とゆう枠で括ること あるいは入れ物にいれることですが 果てをもたないもの 状態である無限を枠で括るか入れ物にいれるようなことはできないでしょうし 真実の無限としての絶対場はふたつもつことはできない場ですから無限は複数にわけてあつかうこともできません.

　したがって無限は集合にできないのです.