数の探求者

第5話 スタインハウスの多角形記法

春の陽気と心地よい風にあたって、屋外でコーヒーを飲む二人。将来は宇宙飛行士になりたい！と6歳の時に思ってから10年間、ひたむきに夢を追い続けている館山みのると、その妹のなつき。二人はよく大きいものに思いを馳せるのが好きだった。

「階乗ってものすごく速く大きくなるから「！」って記号を使うようになったって、本当なの？」

「それは伝説にすぎないけど、実際にこの記号を使うようになったのは1808年、Christian Krampによってだよ」

「ふーん、結構昔からあるんだ」

「階乗自体、ものすごく昔から使われているし、複素数に拡張した概念のガンマ関数だって1729年にオイラーによって導入されている。ただ大きくなるだけの記号ってわけじゃなくて、もっといろんなところに役に立つ概念なんだね」

「じゃあ、逆に、大きくなるだけで役に立たない記号ってあるの？」

「数を大きくするだけで楽しい、っていうのはもちろんあるけど、大きい数を表記できれば、もし他の数学で大きい数が出てきたときに比較できるから役に立つっていうところがあって、大きいだけで役に立たない、なんてことはないんだけど、例えば、スタインハウスのメガっていうのは、大きいことに焦点を当てた数だ。これは宇宙の大きさとか、組み合わせの大きさとかを簡単に超えちゃうんだ。実際にどんな数か見てみよう。

スタインハウスの多角形表記

※三角形「△」の中に入ったnを、△(n)と表記する。

同様に四角形「□」の中に入ったnを、□(n)

円「〇」の中に入ったnを〇(n)と表記する。

さて、スタインハウスについて少しだけ話そう。1887年生まれのポーランドの数学者で、本名は、Hugo Steinhausだ。解析学の専門家で教育者としても優秀だった。1972年に同じくポーランドで亡くなった。

スタインハウスは、まず大きな数を作り始める出発点として、

n^n

というものを考えた。これ自体、ものすごく大きくなる力を持っている。

1^1=1

2^2=4

3^3=27

4^4=256

5^5=3125

6^6=46656

7^7=823543

8^8=16777216

9^9=387420489

10^10=10000000000

11^11=285311670611

式の見た目が綺麗に湾曲してるように見えるよね。でもこれはほとんど直線のような湾曲だ。実際、100^100から101^101になったところで、桁数は2桁しか増えない。(10^200→2.7×10^202)

階乗よりわずかに強いことはすぐにわかるね。たとえば、10!と10^10を比べてみると、

10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

10^10=10×10×10×10×10×10×10×10×10×10

掛けているものがだんだん減っていく階乗と、減らないn^nだから、もちろん、n^nのほうが強い。さて、毎回n^nと書くのも良いけど、スタインハウスは、三角形の中に入れることにした。つまり、次のように定義した。

△(n)=n^n

これはとても簡単なことだ。

△(5)=5^5=3125

じゃあ、この数自体を三角形のなかに入れたらどうなるか？それがスタインハウスの考えたシステムだった。

△(△(5))

これを計算するのはとても簡単だ。△(5)はすでに3125だと知っている。つまり、

△(3125)

と等しい。これを計算するのも簡単だ。なぜなら、定義に当てはめればいいだけだから。

3125^3125≃2.548×10^10921

一応この計算の仕方を教えよう。3125^3125を直接計算できる計算機はそんなにないだろう。そこで、対数を使う。細かい説明は置いておくが、

log(a^b)=log(a)×b

と計算できる。（対数の底は10）

log(3125)=3.4948500...なので、

log(3125^3125)=3.4948500...×3125=10921.40631...

となる。これは、

3125^3125=10^10921×10^0.40631...

を意味しているので、10^0.40631...=2.548...

を計算すれば、

3125^3125≃2.548×10^10921

が導ける。

さて、もう一個△を増やしてみよう。

△(△(△(5)))

はじめの二層は計算できたわけだから、代入してしまえばよい。

△(3125^3125)

これは、定義通り計算すれば、

(3125^3125)^(3125^3125)

だ。さっきの結果3125^3125≃2.548×10^10921を使って、もうちょっと大きさを掴んでみよう。まずは下から抑える。そこで、

10^10000＜3125^3125

を使う。

(10^10000)^(10^10000)＜(3125^3125)^(3125^3125)

まずは

(10^10000)^(10^10000)

これに注目だ。指数法則、(a^b)^c=a^(bc)を使おう。

すると、

(10^10000)^(10^10000)=10^(10^10000×10000)=10^(10^10004)

となる。なんだか4が可愛いね。可愛い子には旅をさせて、いなくなってもらおう。

＞10^10^10000=10^10^10^4

※指数記号^は括弧がなければ右から計算する。

a^b^c^d=a^(b^(c^d))

この数の大きさは、「10000個0が1のあとに続く数」桁の数ということだ(1桁ずれるが、あまり問題にならない)。ここの数の大きさの想像はとても大事。

1桁:1

2桁:10

3桁:100

4桁:1000

...

10桁:1000000000

...

100桁:1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

...

10000桁:

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0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

さて、この数は10^9999なわけだけど、桁数がこれになるわけだ。少なくとも、桁数が10^10000である数よりも大きいのが、△(△(△(5)))ということになる。もちろん、この数は宇宙すべてを使っても書ききることができない。宇宙に砂を詰めても10^100に到底届かなかった。この砂一つ一つに数を書き込んでも、10^10^100まで書くことができないからだ。

さて、次は

△(△(△(△(5))))

という風にいきたいね。この数の下限は、

△(10^10^10^4)

だ。つまり、

(10^10^10^4)^(10^10^10^4)

と計算できる。これも指数法則を使う。

=10^(10^10^10^4×10^10^4)

=10^(10^(10^10^4+10^4))

=10^(10^(10^10^4+10000))

さて、10^10^4+10000に思いを馳せよう。これは、上に並んだ9999個の0の羅列を覚えているかい？その後ろから4つ目に1を挿入して、...0010000とした数だ。なんというか、まったく10^10^4と変わった気がしないよね。そこでほぼ近似できているわけだが、一応記号「＞」を使って次のように計算しよう。

＞10^10^10^10^4

なんだか不思議なことになった。

△(5)=3125=10^3.49...

△(△(5))=2.7...×10^10921=10^10^4.03...

△(△(△(5)))≃10^10^10^4

△(△(△(△(5))))≃10^10^10^10^4

これって、△が増えるたびに、10^っていう記号が一つ増えるのとぴったり一致していることに気付くよね。

実際は証明が必要だけど、それは今はしないで認めてしまおう。

△(△(△(△(△(5)))))

これについて、考えてみよう。おそらく、

10^10^10^10^10^4くらいになるはずだ。

スタインハウスはこの5重の△に入った5という構造に美しさを感じたのかもしれない。これを、

□(5)と書くことにしたんだ。もっと一般的には、n重の△に入ったnを□(n)と書くことにした。

次のように書けば、スタインハウスの気持ちに少し近づけるかもしれない。

1個の1:1=△(1)

2個の2:2×2=△(2)

3個の3:3×3×3=△(3)

4個の4:4×4×4×4=△(4)

n個のn:n×n×...=△(n)

1重の△の中に1:△(1)=□(1)

2重の△の中に2:△(△(2))=□(2)

3重の△の中に3:△(△(△(3)))=□(3)

4重の△の中に4:△(△(△(△(4))))=□(4)

5重の△の中に5:△(△(△(△(△(5)))))=□(5)

実際に計算すると、この□(n)の増大速度は凄いことがわかる。

□(1)=1

□(2)=256

□(3)≃10^10^40

□(4)≃10^10^10^616

□(5)≃10^10^10^10^10925

実際にアラビア数字で書けるのは□(3)までだ。まあ、書いた場合、原子レベルの大きさで書いたとしても地球の表面は数字で埋まっちゃうけどね。

でもスタインハウスはこれで満足しなかった。当然だよね、だって、指数で書けるレベルなんだから。わざわざ新しい記号を導入した意味がない。

だからさらに□の中に入った□という発想になっていくんだよ」