なんか

第2話空集合

なんかしようではないか？

空集合の一意性を外延性公理より証明する。

∀z(z∈x⇔z∈y)→x＝y。外延性公理の主張である。今、∀z(z¬∈x)∧∀z(z¬∈y)を仮定する。この時、x=yであれば、空集合の一意性が証明できたことになる。

さて、外延性公理の主張の前段、∀z(z∈x⇔z∈y)に注目しよう。

この部分を式変形する。すなわち、

∀z((z∈x→z ∈y )∧(z∈y →z ∈x))⇔∀z((z¬∈x∨z ∈y)∧(z¬∈y ∨z∈x))⇔∀z(((z ¬∈x )∧(z ¬∈y ))∨((z ∈x)∧(z ∈y )))、となる。

これより、∀z((z ¬∈x)∧(z ¬∈y))→∀z((z ¬∈x)∧(z¬∈y )∨∀z((z∈x)∧(z∈y))→∀z(((z¬∈x)∧(z¬∈y))∨((z∈x)∧(z∈y)))⇔∀z (z∈x⇔z ∈y)→x =y □

以上より、∀z(z ¬∈x)∧∀z (z ¬∈y )⇔∀z((z ¬∈x)∧(z¬∈y))→x =y□

空集合の一意性が証明された。

なんかなーーーーだな！👍