たくさん進んで一歩下がる

第10話 順序数

「ロクリアちゃん、じゃあちょっと座って考えてみようか」

　アイスクリーム屋さんのそばにあったテーブル椅子に腰を掛ける。

「ちょっとアイスクリーム屋さんの話からは遠ざかって、式を使おう。

　まず、正の整数が順番に並んでるよ。

　1 2 3 4 5 ...

　これは無限に続くグループだ！その後ろに、数が並んでるとしよう。

　これにも名前を付けなきゃいけない・・・例えば、ω（オメガ）にしてみるよ。

　そうすると、

　1 2 3 4 5 ... ω ω+1 ω+2 ...

　ってさらに並ぶことになる。

　ω+2の位置に立っている人が、前に進むと、ω+1にいく。

　さらに前に進むとωにたどり着く。

　その前は無限に数が並んでるんだけど、こういう無限に並んでるときは、...で省略してるところの10番めに飛べる、ということにしよう。

　すると、結局

　ω+2　ω+1　ω　10　9　8　7　6　5　4　3　2　1

　となって、最終的に1にたどり着ける！

　さて、列の長さを、最後尾の文字、と考えることにしよう。

　1 2 3 4 5って並んでたら、列の長さは5っていうことと同じだよ。

　だから、

　1 2 3 4 5 ... ω ω+1の列の長さは

　ω+1だ！

　ここで、すごく変な話。

　1 2 3 4 5 ... ω

　っていう列は1から始まっているけど、もともと1があったとして、その次の数からωだけ数えよう。

　2 3 4 5 6 ...

　この列はどこまで続くかというと、2以上の自然数を全て数えるところまで、なので、やっぱりωまで続く。つまり、2から始めたところで、

　2 3 4 5 6 ... ω

　となって、1から始めた時と列の長さは変わってないように見える。

　式にすると、

　1+ω=ω

　ということだ。

一方で、ωまで数えてからさらに次の数を一個だけ数えると、

　1 2 3 4 5 ... ω ω+1

　と、列は確実に長くなっている。

　これを式にすると、

　ω<ω+1

　ということだ。

　そしてこれをまとめると、

　1+ω<ω+1

　ということになってしまう！つまり、足し算でも順番を考える必要があるということだよ。

　二つ無限グループがある状態は、

　ω+ω

　だ。これは、ωまで数えて、さらに1 2 3...と自然数を全て数えるということだ。実際に列をつくってみると、こうなる。

　1　2　3　... ω　ω+1　ω+2　ω+3　... ω+ω

　これらの数のことを、順序数といい、目の前が無限の列になっている数を、極限順序数と呼ぶ。

　極限順序数の前の数というものは存在しないけど、そのかわりに、前の無限の列、つまり...で省略した部分のどこかに飛べる、というルールを決めるとどこからスタートしても必ず1にたどり着ける。

　ロクリアちゃんの疑問にも答えておくね。

　無限に無限のグループがあったとしよう。

　それはこういう状態だ。

　ω　ω+ω　ω+ω+ω　...と順序数が並んでいる。もちろん、これは

　1 2 3 ...ω

　ω+1 ω+2 ω+3 ...ω+ω

　ω+ω+1 ω+ω+2 ω+ω+3 ...ω+ω+ω

　と並んでいるんだけど、少し省略しちゃった。

　ついでに、ω+ωのことをω×2と書こう。ω+ω+ωはω×3だ。

　ここで、必然的に、

　ω+ω+...

　というのを考えることができる。これがロクリアちゃんのいう、無限グループが無限にある状態だ。これは、

　ω×ω

　って書けるよね。

　じゃあ、ここからスタートして、1にたどり着けるのか？検証してみよう。

　ω×ωは、

　ω×1　ω×2　ω×3　...

　の...の先だ。...の先のことを、収束先と呼び、このような列のことを収束列と呼ぶことにするよ。

　さて、...で省略されているところは、10番めに割り込める決まりだった。だから、

　ω×ωの次は、ω×10に行ける。

　ω×10自体も極限順序数で、

　ω×9+1　ω×9+2　ω×9+3 ...

　という収束列の収束先に他ならない。だから、次に行ける順序数は、

　ω×9+10

　だ。

　そして、ω×9+9、ω×9+8、、、と進んでいって、ω×9にたどり着く。

　これは極限順序数なので、次に行ける順序数は

　ω×8+10

　だ。だんだん減っていったね。このまま続ければ、

　ω+10

　まで来れる。

　ここまでこれれば、もう1にたどり着けるのは、わかるよね」

「結局ωの前が10ってことは、ω=11ってことじゃないのかな？」

　ロクリアちゃんがこういうと、雨がぽつぽつと降ってきてしまい、部屋に戻ることになった。

　注)ωに収束する収束列は無数にあり、たとえば次のようなものである。

　5 6 7 8 ...

　2 4 6 8 ...

　1 3 6 10 ...

　つまり、単調増加する無限整数列でさえあれば良い。

　この中で、最も単純な

　1 2 3 4 ...

　を基本収束列と呼ぶ。小さい順序数では基本収束列は自明に定まるが、ある程度大きい順序数では基本収束列が自明でない。

　本文ではごまかしているが、ご容赦願いたい。