ＱＫ部 -1213-

第24話 １００１

「まずは、あるテクニックを教えるわ。素数判定をするときに役立つ、とても便利な方法よ」

「そんな方法があるんですか？」

　みぞれが身を乗り出して聞いた。伊緒菜は、みぞれの食い付きに気を良くし、にやりと笑った。

「その名も、１００１チェックよ。これは、四桁以上の数が、７、１１、１３の倍数かどうかを同時にチェックできる、簡単で強力な方法なの」

「１３の？」

　みぞれは暗算で素数判定をするとき、いつも１３の割り算あたりで力尽きる。それが簡単にできるようになるなら、万々歳だ。

「でもその説明の前に、一つ質問。みんなは素数判定をするとき、頭の中でどんな計算してる？」

「どうって……普通に筆算してます」

　戸惑いながらみどれは答えた。その答えに、「えっ」と慧が驚いた。

「筆算してるの？」

「え、してないの？」

　伊緒菜はホワイトボードに「３２３」と書いて、二人に見せた。

「じゃあ、例えばこれは、素数かしら？」

「ええと」

　みぞれは頭の中で計算を始めた。３＋２＋３＝８なので、３の倍数ではない。３－２＋３＝４なので、１１の倍数でもない。７で割ると……。

　そこまで考えたとき、慧が答えた。

「いえ、１７の倍数です。１７×１９ですね」

「正解」

「ええっ」

「なんでわかったの？」

　みぞれも津々実も驚いて慧を見ていた。伊緒菜が慧にホワイトボードを渡す。

「説明して」

「し、仕方ないですね」

　渋々といった体でボードを受け取る。

「まず、３の倍数でも１１の倍数でもないのは、良いよね？　３を落とすと２が残るし、３＋３－２は４だから」

「え、なにそれ」

　みぞれはそこで躓いた。自分の計算方法と違う。

「３の倍数判定法、覚えてるよね？」

「うん、全部足して３の倍数なら、３の倍数なんでしょ？」

「そうなんだけど……」

　慧は少し考えてから、「２４６」とボードに書いた。

「これが３の倍数かどうか判定しようと思ったら、足し算をする前に、まず『６』を消していいの。だって、もしこれが３の倍数なら、６を消しても３の倍数になるはずだからね」

「そうなの？」

「そうでしょ？　だって、『３の倍数』から『３の倍数』を引いても、３の倍数になるから」

　慧はボードに式を書いた。

　３ｍ－３ｎ＝３（ｍ－ｎ）

「ｍ、ｎを自然数とすると、左辺の３ｍと３ｎはともに３の倍数。これらの差は右辺になるけど、これはｍ－ｎが整数だから、整数の３倍でやっぱり３の倍数になる」

「う、うん」

　みぞれはとりあえず頷いた。

「だから、『２＋４＋６』から、あらかじめ３の倍数だとわかる『６』を除いておいても、３の倍数判定には影響しないのよ。だから問題の『３２３』も、全部足す必要はなくて、『３』をあらかじめ除いて『２』だけ考えればいいわけ」

「じゃあ、１１の倍数判定は？　これってたしか、一の位から順に『－、＋、－、＋…』ってやっていくんだよね？」

「それでもいいけど、桁が少ないときは、『奇数桁を全部足して、偶数桁を全部足して、差を取る』って考えた方が早いと思う。こんな風に」

　慧はまたボードにペンを走らせた。

　３２３

　→　奇数桁だけ足すと「３＋３＝６」、偶数桁だけ足すと「２」

　→　差を取ると、「６－２＝４」

「で、４は１１の倍数じゃないから、３２３は１１の倍数じゃない。こっちの方が簡単じゃない？」

　みぞれは納得した。たしかに一の位から順に「－、＋」を入れるという計算と、いまの慧の計算は、同じ計算だ。

「そこまではわかった」と津々実が手を挙げた。「でも、３２３が１７の倍数だってすぐにわかったのは、どうしてだ？」

「いまの場合、まず３と１１の倍数じゃないとわかったから、次は７の倍数かどうかをチェックした。３２３に７を足すと３３０になるけど、３３は７の倍数じゃないから、３２３も７の倍数じゃない」

「ちょ、ちょっと待って」みぞれが割って入った。「なに、いまの計算」

　伊緒菜がほくそ笑んでいる。私に説明させたかったのはここか、と慧は思った。

「さっき、３の倍数から３の倍数を引いても３の倍数になるって言ったでしょ？　それと同じで、ａの倍数にａの倍数を足したり引いたりしても、やっぱりａの倍数になるのよ」

　慧は再び数式を書いた。

　ａｍ±ａｎ＝ａ（ｍ±ｎ）

「だから、３２３が７の倍数かどうかを判定するために、まず７を足したり引いたりして、判定しやすい数にしたの。今の場合は、足せば３３０になって、３３０＝３×１１×１０なことはすぐにわかるから、７の倍数でないことがわかる」

　３３０をかけ算の形で表せば、７で割らずに７の倍数でないことがわかるのか、とみぞれは感心した。素因数分解がこんな風に役立つとは。

「次に１３の倍数かどうかを調べたけど、これもすぐわかる。３２３－１３＝３１０で、３１０＝３１×１０だから、やっぱり１３の倍数じゃない。で、最後は１７だけど」

　慧はボードに式を書き並べた。

　３２３＋１７＝３４０

　３４０＝３４×１０＝２×１７×１０

「こうなるから、３４０は１７で割り切れる。つまり、３２３も１７の倍数だったってことよ」

「これをあんなすぐ計算したの？」

「慣れれば簡単にできる計算よ」

　慧はなんてことないように答えたが、みぞれにとっては魔法のような方法だった。すごいなぁ、とみぞれは尊敬のまなざしで慧を見た。

「それで」津々実が口を挟んだ。「伊緒菜先輩、１００１チェックっていうのは、これと関係あるんですか？」

「ええ。１００１チェックは、いま慧が言った『倍数に倍数を足したり引いたりしても、元の倍数のまま』という性質を使うわ。１００１を素因数分解するといくつになる？」

「素数じゃないんですか？」

　言いながら、津々実たちはスマホを操作した。

「７×１１×１３です」

「その通り。ということは、１００１は、『７の倍数』でもあるし、『１１の倍数』でもあるし、『１３の倍数』でもあるということ。だから、元の数に１００１を足したり引いたりした結果、７、１１、１３の倍数になったら、元の数もその倍数だってわかるのよ」

　具体例を見てみましょう、と伊緒菜はボードに「４７１８」と書いた。

「これを１００１チェックしましょう。やり方は簡単。まず、どの桁からでも良いから、１００１を何度も引いて数を小さくしていく。４７１８だったら、１００１を４回引きましょう」

　伊緒菜はボードに筆算を書いた。

　４７１８

－４００４

―――――

　　７１４

「１００１を何回か引くと３桁の数にできるから、あとはそれが７、１１、１３の倍数かどうかチェックすればいい。７１４は、７も１４も７の倍数であることから、７の倍数だとわかる。よって、元の４７１８も７の倍数だとわかるの」

　他の数でもやってみましょうか、と言って、伊緒菜は「１５７６９」と書いた。

「１００１はどこから引いても良いから、今回はまず上から１００１を引きましょう」

　またボードで筆算した。

　１５７６９

－１００１

――――――

　　５７５９

「そしたら、今度は５７５９から１００１を５回引く」

　５７５９

－５００５

―――――

　　７５４

「これは、７、１１、１３の倍数になってる？」

　伊緒菜が質問すると、数秒で慧が答えた。

「１３の倍数ですね」

「その通り。ということは、元の１５７６９も、１３の倍数だったってこと」

　津々実はしばらく思案顔だったが、やがて「なるほど」と呟いた。

「割り算より引き算の方が簡単だし、１００１を引くだけなら暗算でもできる。倍数判定しやすい数になるまで、何度も１００１を引けばいいってことですね」

「そういうことね」

「で、でも」みぞれはボードの「７５４」を指差した。「これが１３の倍数かどうかなんて、わかりません。さっき慧ちゃんが言ってたみたいに、１３を足したり引いたりしても、キリの良い数になりそうにないですし……」

「そうね。慧はいま、どうやって計算したの？」

「７と１１の倍数でないことは、見た目でわかって……１３×２＝２６ですから、７５４に２６を足して７８０、７８は１３の６倍なので、７５４も１３の倍数だとわかります」

「そんなの無理ぃ」

　みぞれが嘆いた。津々実もみぞれの肩を持つように聞く。

「見た目でわかるってなに？　勘？」

「勘じゃないわ。７５４＝７００＋５４で、７００は７の倍数だけど５４は７の倍数じゃないから、７５４は７の倍数じゃないとわかる。あと、７＋４－５＝６だから、１１の倍数じゃないこともわかる」

「たしかに見た目でわかるね……」

　おそらく慧は、いまの計算を無意識でできるのだろうな、と津々実は思った。だから「見た目」という表現が口から出たのだ。

「慧の計算力はちょっと特殊だけど」と伊緒菜。「みぞれでもこれが１３の倍数だと、簡単に判定できる方法があるわ」

「まだ何かあるんですか！？」

　みぞれは顔を上げて食い付いた。

「１００１チェックとほとんど同じ方法よ。その名も、９１チェック！」

「９１……」みぞれは、過去の試合で見た記憶があった。「７×１３、ですよね。前に慧ちゃんが出してた気がします」

「そうだっけ？」

　慧は覚えていなかった。伊緒菜は、相変わらずすごい記憶力ね、と思った。

「９１を足したり引いたりしても、７、１３の倍数であることは変わらない、ってことですか？」

　伊緒菜は頷いたが、

「でも、暗算で９１を引くのは、ちょっと大変じゃない？　繰り下がりが出てきちゃうから」

　と言いながら、ボードに筆算した。

　７５４

－　９１

――――

　６６３

「人間の頭は、繰り下がりの引き算を暗算できないわ。そこで、９１を引く代わりに、１０１を引いて１０を足す、という方法を使う」

　７５４

－１０１

＋　１０

――――

　６６３

「こっちの方が簡単そうでしょ？」

　１００１を引くのが簡単だったように、１０１を引いたり１０を足したりするのも比較的簡単だ。

「ええと、７５４の場合は、７０７を引いて、７０を足せば良いんですか？」

「どっちかな……たぶん、４０４を引いて４０を足した方が良いじゃないかしら」

　７５４

－４０４

＋　４０

――――

　３９０

「ここで３９に注目すると、これは明らかに１３の倍数でしょ？」

　明らかだろうか、とみぞれは思ったが、確かに１３×３だ。

「だから７５４は１３の倍数だし、元の１５７６９も１３の倍数だってことになるのよ」

　説明は以上だった。みぞれ達は各々、伊緒菜の説明を頭の中で反芻して、理解していく。その様子を見ながら、伊緒菜は付け加えた。

「２、３、５の倍数はこれまでも簡単に判定できたと思うけど、１００１チェックを使えば７、１１、１３も簡単に判定できるようになる。これで、１３までの素数の判定が、簡単にできるようになるのよ」

「それより上はないんですか？」

　津々実が当然の疑問を口にする。

「あることはあるわ。まず、９６９（クロック）チェック。９６９は、１７×１９×３なの。でも、これを引いたり足したりするのはちょっと大変だから、私は使ったことないわね」

　１０００－３１＝９６９なので、１０００を引いてから３１を足す、という方法が使える。慧は、そのくらいならできそうだと思った。

「もうひとつ有名なのは、２００１チェック。これは私もたまに使うわ。２３×２９×３よ」

「ってことは」津々実が整理する。「１００１チェック、９６９チェック、２００１チェックを全部使えば、２９までの素数が全部判定できるってことですか」

「便利でしょ？」

　これらを使っても、四桁以上の数を素数だと「確定」させることはできない。だが２９までの割り算をしなくて済めば、計算時間を大幅に減らせる。それに、素数である「確率」を上げることもできる。

「簡単簡単とは言ったけど、試合中に１００１チェックや２００１チェックを使えるようになるには、ある程度の練習が必要よ。というわけで、合宿の最初のメニューは、この二つの練習として、あるゲームをしましょう」

　伊緒菜はトランプを箱から出して、シャッフルした。

「いまから、私がランダムに四枚のトランプを出すから、それが１００１チェックと２００１チェックを通るかどうか、なるべく早く判定してね。素数かどうかは判定しなくていいわ。最初に判定できた人に＋１点、最初に判定できても間違ってたら－１点。１０回やって一番点の高かった人が優勝」

「優勝者には何か出るんですか？」

　津々実が目を光らせる。

「え？　ううん……」伊緒菜は眼鏡を押し上げ、「夕ご飯が少し豪華になるかも？」

「ご飯か……」

　食べ物に釣られるほど子供ではなかったが、賞品には違いない。

　みぞれは真剣な目になった。これまで試合中に、１３や２３の倍数を出してしまったことは、何度もあった。計算の苦手なみぞれはずっと勘と記憶を頼りに戦ってきたが、１００１チェックをものにすればより精度よくカードが出せるようになるだろう。

「最初は、これ！」

　伊緒菜がカードを４枚出した。５、３、Ｑ、Ａ。

「５３１２１をチェック！」

　ええとええと、とみぞれは頭を回転させた。５３１２１から１００１を引くと、５２１２０になって、上から１００１を５回引くと……あれ、これだと繰り下がりが出ちゃう。

　みぞれが繰り下がりに苦闘している間に、慧が言った。

「１００１も２００１も通ります。どの倍数でもないです」

　伊緒菜はスマホを見て、

「正解！」

「はや……」

　計算力では慧に勝てないのだろうか。みぞれの横で、津々実が呟いた。

「なんとなくコツがわかった気がする。なるべく繰り下がりが出ないように引き算した方が良いんだな。今の場合、上から５００５を引こうとしたのがまずかった。２００２を引かなきゃいけなかったんだ」

　伊緒菜がホワイトボードに得点表を書いた。慧に１点を追加する。

「では第２問！」４枚のカードを並べる。「６ＫＡＪをチェック！」

　みぞれは、この方法の欠点に気付いた。トランプは１１以上の数がＪＱＫのアルファベットで書かれているため、パッと見で桁数がわからない。だから、１００１を引こうにも、千の位がどこなのか瞬時に判断できないのだ。

　６ＫＡＪを数字に変換すると、６、１、３、１、１、１。だから千の位は、ええと、３だ。つまり１００１を引くと、６１２１１０になる。そしたら今度は上から１回引くと、一番上は５になって、その下は……。

「２３の倍数です」

　突然慧が言った。

「正解！」

　と伊緒菜が宣言する。

「うっそ、はや。あたし、１００１チェックが終わったとこだよ」

　みぞれは１００１チェックすら終わっていなかった。やっぱり二人ともすごいなぁ、と改めて感心する。

「さすが慧は早いわね。何かコツとかある？」

　得点を書きながら伊緒菜が聞く。

「コツと言いますか……２や３で割ったりもしてます。いまの６１３１１１なら、１００１を引いていくと５０２になるので、これを２で割ります。すると２５１になりますが、これは素数なので、７、１１、１３の倍数ではありません」

　みぞれはぽかんとした。

「割っても良いの？」

「うん。２で割っても、７の倍数かどうかには影響しないから」

　７の倍数を２で割っても７の倍数だ。また、７の倍数でない数を２で割っても、７の倍数になったりはしない。これも素因数分解を使えば理解できる。「２×７×○○」で表される数を２で割っても、７の倍数であることは変わらない。

「さすがね。じゃ、第３問行きましょう！」

　伊緒菜は次のカードを出した。