ＱＫ部 -1213-

第11話 １×３

「ど、どうだった？」

　カードを片付けながら、みぞれが聞いてくる。

「まあ……つまらなくはなかったわ」

　伊緒菜がからかうように指摘する。

「つまり面白かったのね」

「そうは言ってません」

「さっき笑ってたのに」

　慧は言葉に詰まった。

「それで、その……入部、する？」

　上目遣いでみぞれが聞いてきた。負けたら入部するなどとは言っていない。入るも入らないも、慧次第だ。

「悪いけど、断るわ。ゲームは確かに面白かったけどね」

　鞄を持って、席を立つ。それじゃあ、と言って教室を出て行こうとする。

「あ、待って！」

　みぞれが手を伸ばして言った。

「一つだけ、質問させて」

「なに？　また１２３が３の倍数かとか聞くの？」

「ええと……ちょっと似てるかも……」

　慧は席に座った。

「今度は何？」

「あのね、３の倍数の判定方法って、知ってる？」

「知ってるわ。各桁の数を足して３の倍数になれば、元の数も３の倍数になる。でしょ？」

　みぞれは頷いてから質問した。

「どうしてそれで、３の倍数だってわかるの？」

「え？」

　慧はちらりと伊緒菜を見た。

「先輩は知らないんですか、それ」

「え、ええ、まあ」

　バツが悪そうに答える。

　二人とも、方法だけ知っていて、理由を知らなかったのか。慧は半ば呆れながら、鞄からノートとペンを出した。

「簡単な話よ。例えば、４５６という数を考えましょうか。４＋５＋６＝１５だから、これは３の倍数だけど、それはこういう式変形をすればわかる」

　慧はノートにすらすらと式を書いた。

　４５６

　＝４００＋５０＋６

　＝４×１００ ＋ ５×１０ ＋ ６×１

「ここで質問だけど、１０って、９＋１よね？」

「う、うん」

「そして９は３×３だから、結局、１０＝３×３＋１ということになるわ。じゃあ、１００は？」

「ええと」

　いまの慧の考え方を応用する。１００＝９９＋１で、９９＝３×３３だから……。

「３×３３＋１？」

「そう。だからさっきの式に、１０＝３×３＋１と、１００＝３×３３＋１を代入する」

　慧は先ほどの式に続きを書いた。

　＝４×（３×３３＋１） ＋ ５×（３×３＋１） ＋ ６×１

　＝４×３×３３ ＋ ４×１ ＋ ５×３×３ ＋ ５×１ ＋ ６×１

「ポイントは、ここに『×３』があることね」

　慧は式の中の「４×３」と「５×３」をペン先でつついた。

「そこで、この式を部分的に因数分解すると、こうなる」

　＝（４×３３＋５×３）×３＋（４＋５＋６）×１

「これでわかったんじゃない？」

　慧がノートを二人の方に向けるが、二人ともまだわかっていなかった。慧は少し考えてから、

「この式は４５６を変形した物だから、４５６が３で割れるかどうかは、この式が３で割れるかどうかに懸かってる。だからこれを３で割ってみると……」

　｛（４×３３＋５×３）×３＋（４＋５＋６）×１｝÷３

　＝（４×３３＋５×３）×３÷３＋（４＋５＋６）×１÷３

「ほら、こうなるでしょ？　そして前半の『×３』と『÷３』はお互いに打ち消し合うから、結局こうなる」

　＝（４×３３＋５×３）＋（４＋５＋６）÷３

「ね？」

　と言って、後半の「４＋５＋６」の部分を指で指した。

「もしこの後半部分が３で割り切れれば、式全体が３で割り切れたことになる。そしてこの後半部分は……」

「各桁の数を、足したもの？」

　みぞれが顔を上げる。慧は頷いた。

「そうよ。そして今やった式変形は、何桁の数でも同じようにできる。だから３の倍数かどうかは、各桁の数を足せばわかるのよ」

　みぞれはノートを覗き込んで、もう一度式変形を頭から追う。

　ポイントは、１０や１００が、「３の倍数＋１」であることのようだ。３の倍数は、３で割り切れる。だからあとは、「＋１」の部分が３で割り切れるかどうかが問題になる。そしてそれは、各桁の数を足すことで判断できる。だから３の倍数は、各桁の数を足せばわかる。

「すごい……」みぞれは目を輝かせた。「すごいすごい！　こんな理由だったんだ！　面白い！」

　１０が９＋１であることなんて、小学生でもわかる。だけどそれが３の倍数判定法につながるなんて、今まで思いもしなかった。

「あれ、待って」とみぞれがもう一度ノートを見た。「じゃあ、１１でも同じようなことができるの？」

「え？」

「だって、１００は９９＋１で、９９は９×１１なんだから、１００＝９×１１＋１でしょ？　だから今と同じように、『＋１』だけ余る。ってことは……」

　慧は、みぞれの発想力に驚いた。

「え、ええ、もちろん。さらに言えば、１０＝１１－１であることから、こんな風に式変形できる」

　４５６

　＝４×１００　＋　５×１０　＋　６×１

　＝４×（９×１１＋１）＋５×（１１－１）＋６×１

　＝４×９×１１＋４×１＋５×１１－５×１＋６×１

　＝（４×９＋５）×１１＋（４－５＋６）×１

「さっきと同じように、４５６をバラバラにして、『×１１』のついた部分と、『×１』のついた部分に分ける。すると、前半の『（４×９＋５）×１１』の部分は１１で割れるから、４５６が１１で割れるかどうかは、『４－５＋６』が１１で割れるかどうかにかかっている」

「ええと、３の倍数のときは全部足したけど、１１の倍数のときは交互に足したり引いたりするってこと？」

「そう。一の位は足して、十の位は引いて、百の位は足して、千の位は引いて……と、交互に足し引きを繰り返して、その結果が１１の倍数になっていれば、元の倍数も１１の倍数なの」

　３の倍数だけでなく、１１の倍数も判定できるとは。他の数にも、倍数判定法は存在するのだろうか？

　伊緒菜もノートを見ながら、ぽつりと呟く。

「因数分解って、こんなところで役に立つのね」

　心底感心していていた。

「ついでにもうひとつ聞きたいんだけど、去年の先輩たちは、合同がどうとか言っていたわ。合同ってなんのこと？」

「合同式のことですか？」

「合同……式？」

「はい。割り算のあまりだけを考える式のことです。例えば、８も５も、３で割ったあまりが同じですが、それをこう書くんです」

　慧はまた、ノートに数式を増やした。

　８≡５（ｍｏｄ３）

「これが合同式です。それで、『割り切れる』ということは『あまりがゼロ』ということですから、合同式の性質を利用して、色々な数の倍数判定法を作ることができます。おそらくその先輩たちは、まず合同式の性質を証明してから、倍数判定法を説明したんじゃないでしょうか」

　そう言って、慧は合同式の説明を始めた。みぞれも伊緒菜も、それを興奮気味に聞いた。さながら、おとぎ話をわくわくしながら聞く子供のように。

　翌日の数学の授業は、実力テストの解説だった。慧は真面目にノートを取るふりをしていたが、実際にやっているのは、自分の本当の実力の確認だった。教師の解説よりも先に問題を解き、自分の解答が合っていることを確かめる。

　あっという間に全問解き終わってしまった。これまでのところ、すべて正解している。この先も全部正解だろうという自信があった。

　ぼんやりと黒板を眺めながら、慧は中学一年のときのことを思い出していた。

　あれは、一年二学期の、中間試験の頃だ。なんとなく、周囲とのずれを感じ始めていた。友達がみんな、数学の授業が難しいと言い出していたからだ。

　しかし慧には、全くそう思えなかった。むしろ、簡単なことばかりやっているな、という印象だった。

　そして迎えた中間試験。慧は、十分足らずで全問解けてしまった。試験時間はまだ三十分以上あるし、何より周りはまだ解き続けている。どうやら自分が早かったらしい。念のため見直しをしてから、慧は机に突っ伏して寝ていた。

　数日後、テストが返却された。慧は、満点だった。

　テストを友達と見せ合うと、びっくりされた。みんな、六十点台や七十点台を取っていたからだ。クラスの平均点は六十五点。満点は慧一人だけで、二位の男子も九十点だった。慧は断トツだったのだ。

　その結果を、慧は素直に喜んでいた。心の中でガッツポーズを作ったりもした。

　慧は心を弾ませながら家へ帰った。そして母親に、満点の試験用紙を見せた。きっと褒めてくれると思った。しかし母親の反応は、予想外に淡白だった。

「あら、そう。でも、女の子が数学なんてできてもねぇ……」

　母親はむしろ、国語や英語の点数が低いことを注意した。慧の得点は平均に近く、決して悪くなかったが、数学に比べれば見劣りするのは当然だった。

　数学ができても意味がないのだと、慧は理解した。それ以来慧は、数学の試験ではわざと悪い点を取ることにした。

　数学を好きになったのは、それより少し後のことだ。

　ある休日のこと。遊ぶ予定だった友人が急に遊べなくなり、暇になった慧は、ふらりと市の図書館へ行った。そこで、数学の本が並べられた棚を見つけた。

　教科書以外にも数学の本があることを、慧は初めて知った。どんなことが書いてあるのだろうと、一冊手に取って開いてみた。

　そこには、文字通り無限の世界が広がっていた。素数という概念を知り、それが無限にあることを知った。無限にある自然数は、無限個の素数と無限個の合成数、そしてたったひとつの１からできていることを知った。

　孤独な１。しかしその１から、自然数という構造が生み出されることを知った。さらにそこから０が作られ、負の数が、有理数が、無理数と複素数が構成されることを知った。

　あまりの世界の広さに、慧は頭がくらくらした。同時に、世界を構築する方法の巧みさに夢中になった。

　気付くと閉館時間になっていた。本を借りて外に出ると、日はすっかり暮れていた。

　家に帰ると、こんな時間までどこで何していたのだと、母親に怒られた。どうせ言ってもわかってもらえないだろうと思って、慧は何も答えなかった。

　その日から、慧はたまに図書館で数学の本を借りて、家でこっそり読むようになった。何回か、試しに友人に数学の話をしてみたが、誰一人として興味を持ってくれなかった。

　だから慧は、ずっとひとりで数学をやっていた。

　ＱＫ部の部室で、みぞれと伊緒菜は暗い顔をしていた。明日までに部員を二人増やさないと、ＱＫ部は廃部になる。

「ま、まあ。別に部活の形をしていなくても、大会には出られるし？　私はそれでも構わないけど？」

「でも、せっかくですから部活として出たいです」

　二人で溜息を吐く。実力テストの数学上位者に声をかけたりもしたのだが、色よい返事は全くもらえなかった。

　どうやって部員を勧誘しようか、と二人が話し始めたとき、教室の扉がノックされた。

「はい！」

　伊緒菜が威勢よく返事をして、扉に駆け寄る。開くと、そこには慧が立っていた。

「剣持さん！」

　みぞれも駆け寄る。

「ど、どうしたの？　どうしてここに？」

「そんなの、決まってるじゃない」

　鞄から、一枚の紙を取り出す。

「入部しに来たからよ」

　記名を済ませた入部届を、ひらひらさせながら言う。みぞれと伊緒菜は顔を見合わせて、「やったぁ！」と飛び上がった。

「でも、どうして？　昨日はあんなに嫌がってたのに」

　慧は照れくさそうに横を向いて、髪をいじった。

「だって、その、数学ができて褒められたの、初めてだったから……」

　みぞれはぽかんとして聞いた。

「え、どうして？」

「どうしてって……」

　慧は言葉を失った。たしかに、どうしてだったのだろう。

「たぶん、数学ができたところで、何の役にも立たないからじゃない？　それに私、女だし」

「女の子でも男の子でも、役に立たなくても、すごいと思うけど……。だって、数学ができるんだよ？」

　思わず噴き出した。なんの理由にもなっていない。

「な、なんで笑うの？」

「理由なんてないわよ」

　ふふふ、と慧は笑った。

　慧を教室に招き入れて、三人とも席に付いた。入部届を受け取って、伊緒菜が場を仕切る。

「さて、これでようやく部員が三人になったので、明日中にあと一人増やしましょう」

「は？　どういうことですか？」

　伊緒菜に現状を説明され、慧は呆気にとられた。

「なんでそんな状況になってるんですか」

「ＱＫの知名度が低すぎるのが悪いのよ。で、何か部員を増やす案、ないかしら？」

「急に言われましても……」

　慧は髪をいじったが、ふと気が付いてみぞれを見た。

「そういえば、古井丸さんといつも一緒にいた人は？　あの背の高いポニテの人」

「つーちゃんのこと？　つーちゃんはもう家庭科部に入っちゃってるから……」

「兼部してもらえばいいじゃない。要は、名前さえあればいいんですよね？」

「そうね」

　二人でみぞれを見る。みぞれはたじろいでから、

「じゃあ、聞いてみます」

　といってスマホを取り出し、メッセージを送った。

　数分後、再び扉がノックされた。

「つーちゃん、部活中だったんじゃないの？」

「そうなんだけど、メッセージ見せたら、部長が行って来いって。親友のピンチは助けてやれってさ」

　津々実にはいつも助けられてばかりだな、とみぞれは思った。

「というわけで、名前を貸すだけで良ければ、あたしも入部します」

「それで十分よ」

　伊緒菜はにやりと笑って、机の中から白紙の入部届を出した。津々実が名前を書いて差し出す。

「よし、これで……」

　伊緒菜は諸手を挙げた。

「ＱＫ部、存続決定！！」