ＱＫ部 -1213-

第10話 １９×２３

　数学が好きだからといって、素数をいくつも覚えているわけではない。

　二桁の数なら素数かどうかすぐにわかるが、三桁以上となるとそうはいかない。せいぜい、１０１、１０３、１０７、１０９の四つが素数であることを知っているくらいだ。これより大きな素数はほとんど知らない。

　慧は配られた手札を見て、頭を抱えた。

　配られた七枚は、「Ａ、Ａ、２、３、３、４、７」だった。３１や４１が素数であることはすぐにわかるが、三桁以上の素数は何一つわからない。例えば７４３は？　３の倍数でも１１の倍数でもないし、７の倍数でもない。そこまではすぐにわかるが、それより上は計算しないとわからない。

「まずはじゃんけんして、先手を決めて」

　伊緒菜に言われ、二人はじゃんけんした。先手になったのは慧だった。

　慧はまず、山札から一枚引いた。９だ。慧はほっとした。二桁以上の素数は、一の位が１、３、７、９のいずれかになる。９を引けたのはラッキーだ。

　まずは偶数を減らそう、と慧は考えた。手札から２と９を出す。

「２９」

「素数ね」

　と伊緒菜。

「じゃあ、古井丸さんの番」

　みぞれも、まずは山札からドローした。そしてすぐに、手札から二枚出す。１０とＫだった。

「１０１３です」

「え」

「うん、素数ね」

「ええっ」

　慧は目を丸くした。みぞれが四桁の素数を迷いなく出したことも、伊緒菜がそれを普通に受け止めたことも衝撃だった。

「一応、確認する？」

　伊緒菜がスマホを操作し、画面を慧に見せた。数字ボタンが並んだ画面の上に、「１０１３は素数です」と表示されている。

「……わかりました」

　慧は手札を見た。Ａ、Ａ、３、３、４、７。いまは二枚出ししかできないから、どう組み合わせても１０１３以上の数は作れない。このままパスしてもいいが、次もみぞれが三桁や四桁の素数を出したとき対抗できるように、山札から一枚引くことにした。運が良ければ、二桁のカードが出てくるはずだ。

　結果、Ｋが出てきた。二桁カードだ。慧はほっと溜息を吐いた。

「パスします」

　伊緒菜が場を流す。次はみぞれの手番だ。

　みぞれは悩んでいた。手札に８が三枚もあるからだ。８を使った素数は、今までの何回かの試合で、既にいくつも見ていた。８１０１３もあるし、８８３もある。いま手札に３はないが、ジョーカーがあるから、８８３なら作ることができる。しかし……ジョーカーは、もう少し取っておきたい。

　みぞれは山札から一枚引いた。９だった。８８９は素数だっただろうか。今まで、見た記憶はない。みぞれは悩んだ末、別の三枚を机に出した。

「９２９です」

「うん、素数ね」

　伊緒菜が確認する。

　慧はまた目を丸くしていた。早くも三枚出しをされてしまった。

　慧の手札は、Ａ、Ａ、３、３、４、７、Ｋだ。これらを三枚組み合わせて９２９以上の素数を作るためには、Ｋを使って四桁の素数を作るしかない。だが四桁の素数なんて、覚えているはずがない。知っているのは、さっき教わった１２１３だけだ。

　山札から一枚引いて、２が出ることを期待しようか？　もし２が出れば、Ａ（１）２Ｋ（１３）で対抗できるが……。

　いや、期待するよりは、今の手札でもう少し考えてみよう、と慧は思った。素数かどうかは、計算すればわかるはずだ。

　例えばＫＡＡ（１３１１）なんてどうだろう、と考えて、すぐにそれが３の倍数であることに気が付いた。これは素数ではない。慧の頭は、無意識に割り算をした。１３１１＝３×４３７だ。

　あれ、と思った。手札に、３が二枚ある。それに、４も７もある。今のかけ算に必要なカードが揃っている。

　しかも、それで手札を全て使い切れる。つまり、慧の勝ちだ。

「合成数出しします」慧はすぐに言って、机にカードを出した。「３×４３７で、１３１１です」

「えっ！」

　七枚もあった手札を、たった一回で使い切った。みぞれが身を乗り出す。

「すごい……」

「どうですか。計算、合ってますか？」

　慧は横目で伊緒菜を見た。伊緒菜はスマホを操作しながら、

「計算は合ってると思うけど、でも、違うんじゃないかしら」

「どういうことですか？」

　伊緒菜はスマホの画面を慧に見せた。素数判定アプリが開かれている。そこには、こう書かれていた。

「１３１１は素数ではありません。１３１１＝３×１９×２３」

　みぞれも横から画面を覗き込んできた。

「あれ？　違う？」

「違うというより」伊緒菜はまたスマホを操作した。「素因数分解しきれてないのよ。４３７は、１９×２３よ」

　スマホの画面には、「４３７は素数ではありません」と表示されていた。

「そんな……」

　そんなのわかるわけがない、と慧は思った。

「宝崎先輩は、どうして今、違うってわかったんですか？」みぞれが質問した。「１３１１が３の倍数であることは、すぐにわかりますけど……」

「前に言ったかどうか覚えてないけど、１３１１は有名な合成数なのよ。３の倍数であると同時に、２３×５７でもあるの」

　みぞれも慧も、眉をひそめた。どうしてそれが有名なのだろう。

「わからない？　２、３、５、７は、最初の四つの素数よ。そして５７はグロタンディーク素数だから、合成数。ここまで覚えておけば、１３１１は２３×３×何か、ということがわかるわけ。だから、３×４３７ではないことがすぐにわかったの」

　このゲームは明らかに初心者には不利だ、と慧は思った。知識の多寡が勝敗に直接結びつく。

　しかし逆に言えば、やればやるほど強くなるゲームということだ。やればやるほど、たくさんの素数と素因数分解に出会えるのだから。

「剣持さんはいま間違えたから、出した札を全て戻して、ペナルティで一枚引いてね」

　伊緒菜に言われて、慧は山札から一枚引いた。Ａだった。これでＡが三枚、３が二枚、あと４、７、Ｋというアンバランスな手札になった。

　場が流れ、みぞれの手番になった。みぞれは山札から一枚引くと、すぐに三枚出した。

「８８３です」

「素数ね」

「また三枚……」

　慧は顔をしかめた。しかもまた大きな素数だ。慧の手札でこれを超えるには、四桁以上の素数を出さないといけない。パスしてもいいが、みぞれの手札は残り二枚だ。パスしたら、おそらくみぞれはそのまま上がる。

　慧も山札から引いた。今度出てきたのはＱだった。

　手札を眺める。また合成数出しができないか、考えてみる。いま引いたＱは３×４だ。４なら手札にあるが、４は２×２だから素因数には使えない。そして２は手札にない。そもそも三枚出ししないといけないのだから、意味がない。

　そこでふと、慧は閃いた。３０×４０は１２００、つまりＱ００だ。ということは、３□×４□＝Ｑ□□となるような数があるのでは？

　カードを並べ替えて考えてみる。Ａが三枚もあるのだから、まずはこれを使ってみよう。３１×４１はいくらになるだろうか。慧は頭の中で式変形した。

　３１×４１＝（３０＋１）×（４０＋１）＝１２００＋３０＋４０＋１＝１２７１。

　１２７１。四桁。これはＱ７Ａだから三枚出しだ。しかも、Ｑも７もＡも、手札にある！

　この合成数出しをした後、手札に残るのは３とＫだ。これを組み合わせて素数が作れるだろうか。少し考えて、Ｋ（１３）３は素数ではないことに気付いた。これは７の倍数だ。１４０＝７×２０だから、そこから７を引いた１３３も、７の倍数だ。

　では３Ｋ（１３）は？　３の倍数でも１１の倍数でもない。１３の倍数でないこともすぐにわかる。７の倍数でもなさそうだ。

　１７の２乗が２８９で、１８の２乗が３２４なので、３１３が素数かどうか確かめるためには、１７以下の素数の倍数かどうかだけ調べればいい。つまり、あとは１７で割り切れないことさえ確かめればいい。

　３１３＋１７＝３３０であり、３３０は明らかに１７の倍数ではない。よって、３３０から１７を引いた３１３も、１７の倍数ではない。

　よって、３１３は素数である！

　慧は頭の中を整理した。自分の手札は、Ａ、Ａ、Ａ、３、３、４、７、Ｑ、Ｋの九枚。このターンで３Ａと４Ａを捨てて、Ｑ７Ａを合成数出しする。残るのは３Ｋで、これは素数。

　つまり、１２７１を出したあと、みぞれがパスすれば、慧は３１３を出して勝てる。

　みぞれの手札は残り二枚、山札から一枚引けば三枚になる。その三枚が１２７１より大きくなるかどうかで、勝負が決まる。

　慧は、伊緒菜の言葉を思い出した。ＱＫに必要なのは、暗算能力と記憶力、そして運。その言葉通りだなと、慧は思った。

「合成数出しします」慧は七枚のカードを机に並べた。「３１×４１で、１２７１です」

「え、また」

　みぞれがまた驚く。伊緒菜は冷静に、素数判定アプリに「１２７１」を入力した。

「あってるわね。合成数出し成功よ」

　ふふん、と慧は思わず笑った。そして笑っている自分に気が付くと、すぐに笑みを引っ込めた。

「二人とも、残り二枚ね。古井丸さん、どうする？」

　もちろん山札から一枚引いて、三枚出しするしかない。ドローすると、Ｋが出た。手札は８、Ｋ、ジョーカー。もう考える必要はなかった。

「ジョーカーを１０として使って、８１０Ｋ（１３）です」

「なっ」

　ついに五桁になった。伊緒菜が宣言する。

「８１０１３は素数。よって、古井丸さんの勝利よ！」