FpMp

メルセンヌ数に想いを馳せる回

メルセンヌ数番目のメルセンヌ数はフェルマー数を用いた級数で記述できる

言いたいこととタイトルが合っているかわからんぽんだが、早速はじめていきたい。

おさらい。

メルセンヌ数: Mn＝2^n-1

フェルマー数: Fp＝2^（2^p）+1

（nは自然数）

＊

とにかくやってみる。

メルセンヌ数番目のメルセンヌ数M（2^n-1）は下記のように示すことができる。

M（2^n-1）＝2^（2^n-1）-1

　　　　　　＝1/2* 2^（2^n）-1

ここで、2^（2^p）＝Fp-1と示せるので、下記になる。

M（2^n-1）＝1/2*（Fn-1）-1

次に、次のメルセンヌ数番目のメルセンヌ数M（2^（n+1）-1）は同様に下記のように示すことができる。

M（2^（n+1）-1）＝2^（2^（n+1)-1）-1

＝2^（2*2^n-1）-1

＝1/2*2^（2*2^n）-1

＝1/2*（2^（2^n））^2-1

ここで、2^（2^p）＝Fp-1と示せるので、下記になる。

M（2^（n+1）-1）＝1/2*（Fn-1）^2-1

（めんどくさいので日本語は省略）メルセンヌ数列の差を取る。

M（2^（n+1）-1） -M（2^n-1）＝1/2*（Fn-1）^2-1 -(1/2*（Fn-1）-1)

＝1/2*(Fn-1)(Fn-2)

M（2^（n+1）-1） ＝M（2^n-1）+ 1/2*(Fn-1)(Fn-2)

なお、

M(2^1)-1＝M1＝2^1-1＝1

M(2^2)-1＝M3＝2^3-1＝7

これは同時に、M（2^（n+1）-1）のn＝1のときである。

M(2^2)-1＝M（2^1-1）+ 1/2*(F1-1)(F1-2)

　　　　　＝M1+ 1/2*(F1-1)(F1-2)

F1＝2^2^1+1＝5なので、下記で書ける。

M(2^2)-1＝1+1/2*(5-1)(5-2)＝7

M(2^3)-1＝M7＝2^7-1＝127

これは同時に、M（2^（n+1）-1）のn＝2のときである。

M(2^3)-1＝M（2^2-1）+ 1/2*(F2-1)(F1-2)

　　　　　＝M3+ 1/2*(F2-1)(F2-2)

F2＝2^2^2+1＝17なので、下記で書ける。

M(2^3)-1＝7+1/2*(17-1)(17-2)＝127

ただしそう、だよね？

また、下記に分解できるので、M7も式変形できる。

M3＝M1+ 1/2*(F1-1)(F1-2)

M7＝M1+ 1/2*(F1-1)(F1-2) +1/2*(F2-1)(F2-2)

これをM（2^n-1）に適応するドン。

M（2^n-1）＝M1+ 1/2*(F1-1)(F1-2) +1/2*(F2-1)(F2-2)

…+ 1/2*(F(n-1)-1)(F(n-1)-2)

＝1+1/2*Σ（k=1, n-1）(Fk-1)(Fk-2)

ということで、メルセンヌ数番目のメルセンヌ数はフェルマー数を用いた級数で、結構きれいに書くことができました。

＊

なお、メルセンヌ数番目のメルセンヌ数に1加えた数の比を取るとフェルマー数に対して、ちょっときれいな数は出てきます。

(M（2^（n+1）-1）+1) /(M（2^n-1）+1)＝1/2*（Fn-1）^2/ (1/2*（Fn-1）)

＝Fn-1

つまり、下記。

Fn＝1+ (M（2^（n+1）-1）+1) /(M（2^n-1）+1)

メルセンヌ数を数に戻すと、もう少しきれいになるかもですが、もういいやって感じで、ノーマネーでフィニッシュです。