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素数に想いを馳せる回

双子素数は3, 5の組み以外は6n-1, 6n+1の組みとなる。

双子素数とは、一つ飛ばしの整数同士が素数である組みを指す。

例えば、3, 5の組み、5, 7の組みが双子素数であり、

7, 9の組みは9=3*3の合成数であるので、双子素数ではない。

Ready?

＊

まず、3つの連続する整数n-1, n, n+1に想いを馳せ、

このときn-1, n+1の組みが双子素数になるかを考える。

n-1が偶数のときを考える。

n-1=2 （素数）のとき、n+1=4（合成数）、

n-1=2k（合成数）のとき、n+1=2k+2=2*(k+1) （合成数）

上記より、n-1が偶数のとき、n+1は素数ではない。

よって、n-1, n+1の組みが双子素数になるとすると、

n-1, n+1は奇数、すなわち①「nは偶数である」べきである。

ここで、n-1, n+1が素数ならば、それらは3の倍数（合成数）ではないはずである。

ここでn-1に想いを馳せることにする。

すべての自然数は3k, 3k+1, 3k+2 (k>=0)のいずれかに当てはまるはずである。

3で割り切れる数と、3で割ったら1余る数と、3で割ったら2余る数。

どれかにはあてはまるっしょ？

ということでn-1を上記で場合分けしてみる。

n-1=3kのとき、n-1そのものが3の倍数じゃん。

でも、k=1のときn-1=3、n+1=3k+2=5で、いずれも素数。

つまり、この場合、②「3, 5の組みのときは双子素数」じゃん！

n-1=3k+1のとき、n=3k+2はいいけど、n+1=3k+3=3(k+1)は絶対3の倍数じゃん、合成数じゃん。ハイ駄目〜〜〜〜〜。

ちなみにk=0のときは、n-1=1, n+1=3になるけど、別に1は素数ってわけじゃないんだからね！間違えないでよね！

一方、n-1=3k+2のとき、n=3k+3=3(k+1), n+1=3k+4となる。

n-1, n+1も絶対に合成数というわけじゃなさそうなので、双子素数になるときがあるかも。

このとき、③「nは3の倍数」である。

②より、「3, 5の組みのときは双子素数である」が、それを除いて

（①と③から、）nは2の倍数かつ3の倍数のとき、

つまりn=6kのとき、n-1, n+1すなわち6k-1, 6k+1の組みは双子素数になる可能性がある。

もちろん、6k-1, 6k+1の組みが双子素数にならない場合もある。（k=6のとき、35, 37の組みで35は合成数）

でもでも、その反対の、「双子素数であるならば、3, 5の組みを除いて6k-1, 6k+1の組みとなる」ことは言えたんじゃないかな。

必要条件、十分条件とか、対偶・否定・反対とか、わたしわかんないけど、これでQ. E. D. ってことで。

先生、部分点ください！