天国にいけるＣ言語入門 シーズン１ パソコン超初心者がゼロから東方風シューティングをつくる編 ver.0.4.15.789 RELIEF

☆☆☆10進数の実数を2進数で表現する おまけ より簡単に10進数の実数を２進数に変換する方法

より簡単？？？（笑）に

　　　　　10進数の実数を２進数に変換する方法について述べておきましょう。

　　　　　　　　　　　0.056754796337のような10進数の実数でも

　　　　　　　　　簡単に2進数で表すことができるようになっちゃうぞ！

今までのエピソードで見てきたように

🍎🍎

一般に（2のn乗未満の整数値（🌞🌞🌞））=（(2のn乗)－１以下の整数値）はすべて

（2のn乗未満の整数値）の2のn乗を2で割った

2の(n－1)乗以下の

2の(n－1)乗 , 2の(n－2)乗 , 2の(n－3)乗・・４，２，１の

数値の足し合わせをもちいて表すことができます。🍎🍎

さらに発展させると

一般に

１０進数の実数値（🌞🌞🌞）は

（2のn乗）、（2のn-1乗）、（2のn-2乗）・・

　2、1、　（2の-1乗)=2分の1、 (2の-2乗)=（2の2 乗）分の1

( 2の-3乗)=（2の3乗）分の1・・・

の数値の足し合わせを用いて表すことができます。

そして、そのように

１０進数の実数値を

（2のn乗）、（2のn-1乗）、（2のn-2乗）・・

　2、1、　（2の-1乗)=2分の1、 (2の-2乗)=（2の2 乗）分の1

( 2の-3乗)=（2の3乗）分の1・・・

の足し合わせで表してしまえば

🍊🍊🍊🍊🍊🍊🍊

(10進数)2のn乗＝(２進数)1000000・・・０（0の数がn個）

(10進数)2の-n乗＝(２進数)0.000000・・・0001（整数値部分と小数点以下の0を合わせた数がn個）

の関係性をもちいて

🍊🍊🍊🍊🍊🍊🍊

（2のn乗）、（2のn-1乗）、（2のn-2乗）・・

　2、1、　（2の-1乗)=2分の1、 2の-2乗=（2の2 乗）分の1

2の-3乗=（2の3乗）分の1・・・

の足し合わせで表された10進数実数値を

2進数

1000000・・・000（0の数がn個）

100000・・・000（0の数がn-1個）

10000・・・000（0の数がn-2個）・・・

10

1

0.1

0.01

0.001

・

・

・

の足し合わせで表すことができるようになります

上記は今までのやり方ですね

では　実際に１０進数の実数値3.125を2進数であらわしてみましょう。

まず 　3.125の整数部分3は２進数11であらわすことができます。

そうなると残りの0.125をどうやって２進数であらわすか

ということになりますね。

一般に

１０進数の実数値（🌞🌞🌞）は

（2のn乗）、（2のn-1乗）、（2のn-2乗）・・

　2、1、　（2の-1乗)=2分の1、 (2の-2乗)=（2の2 乗）分の1

( 2の-3乗)=（2の3乗）分の1・・・

の数値の足し合わせを用いて表すことができます。

たとえば１０進数の実数値が0.125だったとしても

それは成立します

つまり

　　　　　　　　　どのような実数値でも

（2のn乗）、（2のn-1乗）、（2のn-2乗）・・

　2、1、　（2の-1乗)=2分の1、 (2の-2乗)=（2の2 乗）分の1

( 2の-3乗)=（2の3乗）分の1・・・

の数値の足し合わせを用いて表すことができます。

0.125は整数値部分が0なので

0.125は

小数点以下の数値である

（2の-1乗)=2分の1、 (2の-2乗)=（2の2 乗）分の1

( 2の-3乗)=（2の3乗）分の1・・・

の足しあわせを用いて表すことができます

0.125を

2分の1

(2の2 乗)分の1

(2の３乗)分の1

・・・

の足し合わせをもちいて表したなら

仮に次のような数式になっているはずです。

🍒0.125=

A×1/2+B×1/(2の2 乗)＋C×1/（2の3乗）

+D×1/（2の4乗）・・・🍒

{A　B　C　D・・・・・はいずれも10進数0か1の値をとります}

そして

A×1/2+B×1/(2の2 乗)＋C×1/（2の3乗）

+D×1/（2の4乗）・・・

👆

この式を

🍊🍊🍊🍊🍊🍊🍊

(10進数)2のn乗＝(２進数)1000000・・・000（0の数がn個）

(10進数)2の-n乗＝(２進数)0.000000・・・0001（0の数がn個）

の関係性をもちいて

🍊🍊🍊🍊🍊🍊🍊

次のように2進数で表現することができます。

A×0.1+B×0.01＋C×0.001+D×0.0001・・・

{A　B　C　D・・・・・はいずれも（10進数）0か1の値をとります}

ここで

A　B　C　D・・・・・はいずれも（10進数）0か1の値をとり、

2進数の係数となっています。

ですので

A×0.1は10進数×2進数となっているので

A×0.1を計算するときは

10進数もしくは2進数に統一して計算する必要があります

ここで

🍒の式の

両辺を２倍して

0.25=A+B×1/2＋C×1/（2の2乗）+D×1/（2の3乗）・・・

としてみます

ここでAは10進数0か1の値をとりますが

左辺の0.25は整数値を含んでいないのでAは0

となるのがわかります。

よって

0.25=B×1/2＋C×1/（2の2乗）+D×1/（2の3乗）・・・となります。

さらに

両辺を２倍して

0.5=B＋C×1/2+D×1/（2の2乗）・・・

としてみます

ここでBは0か1の値をとりますが

左辺の0.5は整数値を含んでいないのでBは0

となります。

さらに

0.5=B＋C×1/2+D×1/（2の2乗）・・・

に

B=0を代入して

0.5=C×1/2+D×1/（2の2乗）・・・

としたものを

両辺を２倍して

1=C+D×1/2・・・

としてみます

左辺の1は小数点以下の項を含んでいないので

D以下の

すべての項の係数は0となります

よって

C=1

となります

よって

A=0

B=0

C=1

D=0（D以降は全て0)

・

・

・

となります

10進数0.125=A×1/2+B×1/(2の2 乗)＋C×1/（2の3乗）+D×1/（2の4乗）・・・

は

10進数0.125=A×0.1+B×0.01＋C×0.001+D×0.0001・・・・・

（0.1,0.01,0.001,0.00001は２進数数値です）

に等しいので

🍒10進数0.125=

A×1/2+B×1/(2の2 乗)＋C×1/（2の3乗）+D×1/（2の4乗）・・・

=

A×0.1（2進数）+B×0.01（2進数）＋C×0.001（2進数）+D×0.0001（2進数）・・・🍒

=(10進数)0×0.1（2進数）+(10進数)0×0.01（2進数）＋(10進数)1×0.001（2進数）+(10進数)0×0.0001（2進数）・・・🍒

=(2進数)0×0.1（2進数）+(2進数)0×0.01（2進数）＋(2進数)1×0.001（2進数）+(2進数)0×0.0001（2進数）・・・🍒

〇　　〇　　〇

10進数の数値と2進数の数値は計算できないので

👆ここでは

(2進数)0=(10進数)0

(2進数)1=(10進数)1

の関係を用い

2進数同士の掛け算に変更しました

〇　　〇　　〇

=（2進数）0.0010・・・🍒

となります。

この計算において

2進数にで表したい10進数数値0.125を順々と２倍して行きましたが

👇

0.25

0.5　

1

これらの数値

の一番左端の数値を上から順にひろっていくと

001となり

001は　

今の🍒の答えの2進数0.0010・・・・・の小数点以下の部分001と対応しています。

よって

例えば

10進数実数0.09876543を２進数表示したければ

0.09876543をひたすら2倍し

0.19753086

0.39506172

0.79012344

1.58024688

（ここで整数値1をとりのぞいた0.58024688を2倍にすることになります。

なぜ　そうなるかは先ほどの例を参照してください）

(なんで　そうなるのかな？）

(先程の例を参照しても　全然意味がわからんぞ？）

(もうん　 後にく・わ・し・い解説💖をのっけてあるのよ😊）

1.16049376👈0.58024688を2倍しました

（ここでも整数値1をとりのぞいた0.16049376を2倍にすることになります。）

0.32098752

0.64197504

1.28395018

・

・

・

最後に一番左端の0もしくは1の整数値の部分をよみとって

つなぎあわせていくと

00011001・・・

そしてこの

00011001・・・の先頭に

0.00011001と0.をいれたものが

0.09876543の2進数表示0.00011001・・・となります。

これで皆さんも１０進数実数を自由に２進数に変換できるように

なりました。　おめでとうございます。

友達の前でいきなり

１０進数実数を２進数に変換したら

完全に驚くことまちがいなしです。

おまけでしたよ～ん。

さらにおまけのコーナーです

では

今度は簡単な方法でなく

　　　　　　　　　　　　実際に

10進数実数0.09876543を数式をもちいて

２進数表示に変換してみましょう

まず 　0.09876543の整数部分0は２進数0であらわすことができます。

そうなると残りの0.09876543をどうやって２進数であらわすか

ということになりますね。

一般に

１０進数の実数値（🌞🌞🌞）は

2のn乗、2のn-1乗、2のn-2乗・・

　2、1、　2の-1乗=2分の1、 2の-2乗=（2の2 乗）分の1

2の-3乗=（2の3乗）分の1・・・

の数値の足し合わせを用いて表すことができます。

2のn乗

2のn-1乗

2のn-2乗

・

・

・

2

1　

2の-1乗=2分の1

2の-2乗=（2の2 乗）分の1

2の-3乗=（2の3乗）分の1

・

・

・

は用いられないものがあっても構いません

0.09876543は整数値部分が0なので

0.09876543を

小数点以下の数値

2分の1

(2の2 乗)分の1

(2の３乗)分の1・・・

の足し合わせをもちいて表すことになります

2のn乗

2のn-1乗

2のn-2乗

・

・

・

2

1

は登場してきませんね

0.09876543を

小数点以下の数値

2分の1

(2の2 乗)分の1

(2の３乗)分の1・・・

の足し合わせをもちいて表した数式は以下のようになっているはずです。

🍒0.09876543=

A×1/2+B×1/(2の2 乗)＋C×1/（2の3乗）

+D×1/（2の4乗）・・・🍒

{A　B　C　D・・・・・はいずれも10進数(0もしくは1の値)をとります}

そして

A×1/2+B×1/(2の2 乗)＋C×1/（2の3乗）

+D×1/（2の4乗）・・・

👆

この式を

🍊🍊🍊🍊🍊🍊🍊

(10進数)2のn乗＝(２進数)1000000・・・000（0の数がn個）

(10進数)2の-n乗＝(２進数)0.000000・・・0001（0の数がn個）

の関係性をもちいて

🍊🍊🍊🍊🍊🍊🍊

次のように2進数で表すことができます。

A×0.1+B×0.01＋C×0.001+D×0.0001・・・

{A　B　C　D・・・・・はいずれも10進数0か1の値をとります}

ここで

A　B　C　D・・・・・はいずれも10進数0か1の値をとり、

2進数の係数となっています。

ここで

🍒の式の

両辺を２倍して

0.19753086=A+B×1/2＋C×1/（2の2乗）+D×1/（2の3乗）・・・

としてみます

ここでAは10進数で0か1の値（2進数で0か1の値)をとりますが

左辺の0.19753086は整数値を含んでいないのでAは0

となるのがわかります。

よって

0.19753086=B×1/2＋C×1/（2の2乗）+D×1/（2の3乗）・・・となります。

さらに

両辺を２倍して

0.39506172=B＋C×1/2+D×1/（2の2乗）・・・

としてみます

ここでBは0か1の値をとりますが

左辺の0.39506172は整数値を含んでいないのでBは0

となります。

さらに

0.39506172=C×1/2+D×1/（2の2乗）・・・

両辺を２倍して

0.79012344=C+D×1/2・・・

としてみます

左辺の0.79012344は整数値を含んでいないのでCは0

となります

さらに

0.79012344=D×1/2・・・

両辺を２倍して

1.58024688=D＋E×1/2+F×1/（2の2乗）・・・

としてみます

おや？

1.58024688の整数値部分は1ですね

ですので

Dは1の値をもつことになります

すると・・・

　　　　　💖ここが注目ポイントです💖

1.58024688=D＋E×1/2+F×1/（2の2乗）・・・

は

1.58024688=1＋E×1/2+F×1/（2の2乗）・・・

となります

ですので

両辺から1を引くと

🍒0.58024688=E×1/2+F×1/（2の2乗）・・・🍒

となります

ですので

🍒0.58024688=E×1/2+F×1/（2の2乗）・・・🍒

の両辺を2倍すると

🍒1.16049376=E+F×1/2・・・🍒

となります

つまり

1.58024688=1＋E×1/2+F×1/（2の2乗）・・・

の両辺を2倍するのではなく

両辺から1を引いた

🍒0.58024688=E×1/2+F×1/（2の2乗）・・・🍒

の両辺を2倍することになるというわけです

1.58024688=1＋E×1/2+F×1/（2の2乗）・・・

の両辺を2倍すると

3.16049376=2＋E+F×1/2+・・・

となり

Eの値が少し求めにくくなります

（🌞ちょっと解説🌞

簡単に10進数実数値を2進数で表す方法の場合でも

1.58024688を2倍するのではなく

1を引いた

🍒0.58024688を2倍しました

なぜなら

1.58024688を2倍すると

3.16049376

となるからです

ここがちょっとしたポイントです

簡単な方法を用いて

10進数実数0.09876543を２進数表示する場合

0.09876543をひたすら2倍し

0.19753086

0.39506172

0.79012344

1.58024688

（ここで整数値1をとりのぞいた0.58024688を2倍にすることになります。

なぜ　そうなるかは今の例を参照してください）

(なんで　そうなるのかな？）

(今の例を参照しても　やはり全然意味がわからんぞ？）

(もうん　 ちょっと後にく・わ・し・い解説💖をのっけてあるの💖😊）

1.16049376

（ここで整数値1をとりのぞいた0.16049376を2倍にすることになります。）

0.32098752

0.64197504

1.28395018

・

・

・

最後に一番左端の0,1の整数値の部分をよみとって

つなぎあわせていくと

00011001・・・

そしてこの

00011001・・・の先頭に

0.00011001と0.をいれたものが

10進数0.09876543の2進数表示0.00011001・・・

めでたし💖　めでたし💖

となるのですが

　　　　　　　　　　　　　　　ここで

1.58024688

を

2倍するとなると

0.19753086

0.39506172

0.79012344

1.58024688

（ここで整数値1をとりのぞいた0.58024688を2倍にすることになります。

なぜ　そうなるかは先ほどの例を参照してください）

(なんで　そうなるのかな？）

(先程の例を参照しても　全然意味がわからんぞ？）

(そこで実際に整数値1をとりのぞかず1.58024688の2倍を実行すると・・・）

3.16049376

(さらに実際に3.16049376の2倍を実行すると・・・）

6.32098752

(さらに実際に6.32098752の2倍を実行すると・・・）

12.64197504

(さらに実際に12.64197504の2倍を実行すると・・・）

25.28395008

・

・

・

となり

最後に一番左端の整数値の部分をよみとって

つなぎあわせていくと

00013612・・・

そしてこの

00013612・・・の先頭に

0.00013612・・・と0.をいれたものが

0.09876543の2進数表示0.00013612・・・とはなりませんね💖

そこで

1.58024688

（ここで整数値1をとりのぞいた0.58024688を2倍にすることになります。）

のように

2倍を続けていて

左端の整数値部分が1になった段階で

1を取り除くことになります

そして

0.58024688

を

2倍することになります

🌞10進数実数値を2進数実数値に簡単に変換する方法のポイントはここです🌞）

そして

1.58024688=1＋E×1/2+F×1/（2の2乗）・・・

の両辺を2倍するのではなく

両辺から1を引いた

🍒0.58024688=E×1/2+F×1/（2の2乗）・・・🍒

の両辺を2倍した

1.16049376=E+F×1/2・・・

の

1.16049376の整数値部分は1ですね

ですので

Eは1の値をもつことになります

よって

A=0

B=0

C=0

D=1

E=1

・

・

・

より

10進数実数0.09876543=

A×1/2+B×1/(2の2 乗)＋C×1/（2の3乗）+D×1/（2の4乗）・・・

=A×0.1（2進数）+B×0.01（2進数）＋C×0.001（2進数）+D×0.0001（2進数）+E×0.000001（2進数）・・・

=(10進数)0×0.1（2進数）+(10進数)0×0.01（2進数）＋(10進数)0×0.001（2進数）+(10進数)1×0.0001（2進数）+(10進数)1×0.00001（2進数）・・・

=(2進数)0×0.1（2進数）+(2進数)0×0.01（2進数）＋(2進数)0×0.001（2進数）+(2進数)1×0.0001（2進数）+(2進数)1×0.00001（2進数）・・・

〇　　〇　　〇

👆ここでは

(2進数)0=(10進数)0

(2進数)1=(10進数)1

の関係を用いました

〇　　〇　　〇

=（2進数）0.00011・・・

となります

👆上記が数式を用いて

10進数実数0.09876543を（2進数）0.00011・・・に変換する方法でしたが

簡単な方法より

かなり手間がかかることがお分かりになられたでしょうか？