最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。

第2話

『漸問答（タルタリア）』

「むかーし、むかーし、１６世紀くらいのイタリアに、『タルタリア』と呼ばれる数学者がいました。彼は、１５３５年の初め頃、アントニオ・マリア・フィオールという人に数学の『公開論戦』を申し込まれました。」

「こーかいろんせん？？（裏声）」

「公開論戦とは、ざっくりいうと、互いの名誉と富をかけ、数学の問題を出し合い、どちらが数学に優れているか競う戦いです。数学試合とも言います。タルタリアとフィオールの公開論戦は、三次方程式の問題を互いに30問出し合い、30日後に多く解けたほうが勝ちというものでした。」

「さんじゅーもん？？さんじゅーにちもー！！？？（裏声）」

「三次方程式の解法を独自に発見していたタルタリアは、フィオールの問題を見事すべて解きあげました。一方、フィオールはというと、自分から挑んだくせに出された問題をほとんど解けず、ぼろ負けしました。結果、圧倒的に勝利したタルタリアは、輝かしい名声を手に入れました。ちなみに、負けたフィオールのその後は知りません。」

「たるたりあすごーい！！しびれるううう！！！！（裏声）」

「……しかし、そんなタルタリアに悲劇が起きます。」

「えー？？なになにーー？？（裏声）」

「彼の発見した三次方程式の公式を、カルダノという人が、約束を破って勝手に発表してしまったのです。タルタリアは、絶対に秘密にするという条件で、カルダノに特別に教えたのに。」

「かるだの ひどい！！サイテー！！（裏声）」

「タルタリアは激怒しました。自分の力で見つけた三次方程式の公式を、自分の本で発表しようと思っていたのに、無惨にもパクられてしまったのですから（笑）。汚された名誉を取り戻すべく、タルタリアは、カルダノに数学試合を申し込みました。」

「たるたりあ がんばえー！！がんばえー！！！（裏声）」

「ふふふ。正義には勝ってほしいし、なにより、このままだとタルタリアが可哀想ですよね。」

「うん！！！（裏声）」

「では、試合の結果は、どうなったでしょうか？しかし、残念ながら、これには諸説あって、どうなったかは分からないんです」

「えー！！！おしえてよー！！おしえてよー！！！（裏声）」

「ほら、みんな落ち着いて！！正義は必ず勝つんですから、私たちはタルタリアが勝ったことを信じましょう！事実なんかより信じる心が大切なんです！！いいですね！？」

「はーい！！！！（裏声）」

「…………まあ、今では、この『三次方程式の解の公式』って、『カルダノの公式』と呼ばれてるんだけどね。」

そうして、平等院補題は、一人芝居を終えた。

「はーい☆☆ということで〜、今から二人には〜、この漸問答（タルタリア）をしてもらうの〜☆☆(*≧∀≦*)」

さっきとは打って変わって場は静まり返っている。

それもそのはず。この少女は少なくとも狂気だが、この場を支配しているのは少なくとも彼女なのだ。

「ルールは簡単だよ〜☆☆これから３０日間、導来ちゃんと本条ちゃんには〜、交互に数学の問題を出し合ってもらうの〜。それで〜、先に答えられなくなった方が負けね〜☆☆」

平等院補題は、器用にも足だけでテーブルの椅子を引き出し、ストンと、鎮座した。

「じゃ、何か質問ある〜☆☆？？」

仕事を終え疲れたOLのように、彼女はけだるそうに聞いた。

腕が固定されていなければ、小指で耳でもかっぽじってそうな雰囲気だ。

いやいやいや。

質問、大アリである。

そもそもルール説明が一行で済むなら、さっきの茶番劇は必要なくなくないか？

ちょ、まじありえないんだけどである。

「カッ。その『数学の問題』とやらは、なんでもいいのかよ。」

矢先、導来圏が半ば拗ねたように訊いた。

やはり補題がこの場を仕切っていることが気にくわないのだろう。

「はい！導来圏ちゃん！質問する時は、手をあげましょうね〜☆☆ でも〜、お姉さんは優しいから〜、特別に答えちゃうね〜〜☆☆ 数学の問題は〜、『出題者が正解できる問題』というのが〜、必要条件なの〜〜」

補題は、導来が口を挟めないように、続けて言う。

「例えば〜〜。『リーマン予想を証明せよ。』なんて問題は、出題者も解けないから出しちゃダメなの〜〜。ま、解けるならいいけど〜、ここにはそんなヤツはいないしね〜☆☆(苦笑)」

なるほど。

文字通り、無理難題は出せない、ということか。

「ケッ。それで、回答の制限時間とかはあるのかよ。」

またもやよもや、導来が質問する。

「もう〜☆ 手をあげてよ〜〜☆☆ えーと〜、作問、回答の制限時間は〜、それぞれ〜、３時間だよ〜☆☆ 数戟管理委員会が決めた時間に〜、出題者には問題を〜、一問作ってもらって〜、問題を出来たら〜、そこから〜、回答時間が開始ね〜☆☆」

一問につき、三時間。

数学オリンピックでも、一問つきだいたい１時間〜１時間半くらいだったと思うから、それと比べても、普通ではない長さだ。

そうなると、俺にも気になる点が出てくる。

「補題とやら、それで、勝利の条件はどうなってるんだ？」

「もー本条ちゃんも手をあげてよ〜☆☆ さっきも言ったように、先攻と後攻を決めて〜、一問ずつ互いに出していって〜、答えられなかったら即負けね〜☆　例えば〜仮に導来ちゃんの出題から始まって〜、一問目で、もし本条ちゃんが答えられなかったら〜、その時点で本条ちゃんの負けだよ〜☆☆ あ、あと〜、30日っていうのは〜一応上限を定めているだけね〜☆☆（天ぷら）←イミフ」

言ってしまえば、交互に出題するクイズ合戦みたいなものだ。

しかし、聞く限り、先攻が圧倒的に有利そうだが。

「じゃあ、先攻後攻はどうやって決めるんだ？」

「いい質問だね〜〜☆☆先攻はコインを投げて決めるよ〜〜☆☆有利な先攻を取れるかどうかは〜、『運』次第ってことだね〜〜（神のみぞ知る）」

三山崩しの時しかり、どうやら運命はコインで決まるようだ。

「他に質問はないかな〜〜？？じゃあ、ルールをまとめるよ〜☆☆」

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************漸問答（タルタリア）*************************

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* ルール***********************************

* 1. 数学の問題を交互に1題ずつ出題する

* 2. 問題の作成時間は各３時間

* 3. 問題の回答時間も各３時間

* 4. 出題者は自ら解答できない問題を出題してはならない

* 5. 回答者は正解できない時点で敗北

* 6. 5の時、出題者は勝者となる

* 7. 先攻はコインで決定

* 8. 30日経過した時点で終了とする

*********************************************/

「ではでは、運命のコインを投げるよ〜☆☆ 泣いても笑っても死んでも、これで決定だからね〜〜☆☆」

こうして、賽、もとい、コインは投げられた。

平等院補題の口の中から放たれたコインは、空中でくるくると回転をし、平等院補題の足で、床に叩きつけられた。

表なら、俺の先攻。

裏なら、導来圏の先攻だ。

結果は…

「ふむむ！！☆☆ コインは『表』を示しているってことで、先攻は本条圭介ちゃんからだね〜（おめでとー(๑╹ω╹๑ )）」

よし。よしよし。

そうだ。ここで俺に後攻が来るわけがない。

誘拐、監禁、権力濫用。非道を限りを尽くす導来圏に、勝負の女神が味方につくはずがないのだ。

「早速、即々、本条ちゃんからの先攻で、数戟『漸問答（タルタリア）』開幕なのだ〜〜☆☆( ^ω^ )」

そして、俺と導来圏との数戟は始まった。

俺たちが今いる部屋は、大学の教室１つ分くらいの大きさだ。

その中央に俺は座っている。

俺の向かいの壁沿いには、導来圏と平等院補題が、俺の出題を待っている。

妹の環奈は、未だ導来圏の側で小さく座っているままだ。

逃げたくても、逃げられないのだろう。

大丈夫。お兄ちゃんが、今助けてやる。

このセミナーハウスの教室は、現在、数戟管理委員会が、ドアを完全に封鎖している。

何者にもこの数戟を妨害させないためだろうか。

群城と南條は、介入しないという条件のもとで、俺の後方で待機している。

すまない。しばらく我慢していてくれ。

……さて、猶予は、３時間。

その間に、渡された紙に、問題と、その解答を記述する。

２３年間生きてきたが、テストや大学受験で、問題を解くことはあっても、自分で問題を作るってことは初めてかもしれない。

それも、なるべく難しい問題だ。

タイムリミットを告げる電子掲示板は、１秒ずつ数字を減らし始めた。

ただ難しくてもダメだ。

自分が解けるものでなくては。

今から新しく問題を作ることもできるが、同時に問題の回答も作らなければならない。

１時間半で問題を考えて、１時間半で答えを作るって感じか？

白紙の紙を前にして、なかなかペンが進まない。

いやいや、落ち着いて考えるんだ。そうだ、数学的に整理してみよう。

自分の作れる問題全体の集合をS、自分が解ける問題全体の集合をAとする。

俺が、作るべき問題は、この２つの集合の共通部分 S∩A の元だ。

そして、問題の間に、難易度の順序 > を入れた時に、その順序での最大限、もしくは極大元が欲しい。

つまり、max S∩A だ。

……なるほど。結局、max S∩A を求めればいいのか。

教室は、これだけの人数がいるというのに、物音ひとつしないくらい静かで不気味である。

くそ！だからなんだっていうんだ！

難しく言い直しただけで、状況は何一つ変わっちゃいない。

とにかく問題を作るんだ。難しい問題を。

なんやかんややっている内に、もう１５分が経った。

３時間のうちの１５分だから、えーと、１２分の１が過ぎたんだ。

１２分の１といえば、約８パーセント。

なるほど。８パーセントか。

くそ！だからなんなんだ！

完全に煮詰まった。

どうしようもない。俺の人生そのものだ。

そんなこと言ってる場合でもない。

とにかく、一旦、身の回りの状況を整理しよう。

さっきから感じているこの違和感の正体を見つけるために。

俺の近くには、人はいない。ましてや椅子に拘束されているわけでもない。

計算用紙も十分ある。

水も飲みたいと思えば飲めるし、トイレに行きたいと思えば、行かせてもらえるだろう。

すべて、俺が集中できるための配慮だ。

しかし、それが、何かが引っかかる。

自由なはずなのに、窮屈というか、自由に動けないような……

そうか。これはまさに俺の今の状態なんだ。

自由すぎるんだ。

通常、試験で問題を出されたら、解くしか選択肢はないから、迷うことなんてない。

でも、今は作る側だ。

何を作るか、選択肢があり過ぎて、返って何にもできないんだ。

学校では、問題を解くことしか教わってきてないから、問題を作れという問題に躓（つまず）いたんだ。

ここで、やっと俺は自分のミスに気がついた。

完璧を求めてはダメだ。

この漸問答（タルタリア）はこれ一回限りではない。

最初から、難しい問題を考えようとしたら、そんなの作れないに決まっている。

だって、難しいんだから。

選択をするためには、余分な選択肢は捨てて、選択を絞るんだ。

難しい問題を作ることは止めて、自分が簡単に解ける問題を作って、そこから相手が解けなさそうな問題を見つける。

これが、漸問答（タルタリア）の最善手だ。

やっと俺は、深く呼吸をすることができた。

俺の得意分野といえば、計算機代数、つまり、グレブナー基底、とかだ。

例えば、

『グレブナー基底の定義をかけ』

『グレブナー基底を計算せよ』

『グレブナー基底を使って、次の連立方程式を解け』

これだけで、色々問題は考えられる。

グレブナー基底は、数学の中でも比較的マニアックな概念だ。

導来圏が知っている可能性は低い。

名前から察するに、奴の得意分野は、圏論のはず。

Kan 拡張チャンス！とかその辺だろう。

だとすれば、この手は有効だ。

俺が知っている中で、グレブナー基底を使った問題、もしくは定理などを出題する。

その際、その解答が複雑であればあるほど、この技の毒は増す。

そこから俺は、自分の持っている知識を、知恵を、フル稼働して、問題作成に集中した。

「ピピーーー！！！時間です！！３時間経ちました！！本条ちゃんはペンを置いてください！！☆☆（置いてね）」

ふう。

出来た。

時間ギリギリになってしまったが、なんとか間に合った。

おそらくこれが、現時点で俺が出せる最高の問題だろう。

「それでは〜、本条ちゃんの問題を発表しますね〜☆☆これだっぴょん！☆☆」

【問題】

体上の多項式環 K[x_1,...,x_n] のイデアル I に対して、その簡約グレブナー基底は一意的に存在することを示せ。

「問題が出題されたので！☆☆ここから！３時間！導来ちゃんの回答タイムです！！☆☆ →では、はじめ！！」

平等院補題が、カウントダウンタイマーを起動させた。

さあ、どうなるか。できる限りのことは尽くした。

後は、待つだけだ。

『人事を尽くして天命を待つ』

バスケ漫画のキャラクターもそう言っていた。なのだよ。

「……け…ぜ。」

こんな感じで、出題のプレッシャーから抜け、下らないことを考えていた俺は、まず、自分の耳を疑った。

間違いなく、聞き間違いだろうと思った。

だって、１分、いや３０秒？

俺は、これからの長丁場に備えて、トイレに行っておこうとさえ思っていたのだから。

そう、導来圏の『解けたぜ』を聞くまでは――