最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。

第3話

『過剰性能（オーバースペック）』

「まず、ディクソンの補題から、HT(I) の最小の基底 S が一意的に存在する。ここで、各 t∈S に対して、ある f_t∈I で、HT(f_t)=t なるものが存在する。I はイデアルから、HM(f_t)=t としてよく、さらに、f_t を上の条件を満たす I の元の中で最小のものとしてよい。さて、G={f_t | t ∈ S} とする。この G が I の唯一の簡約グレブナー基底であることを示す。G がグレブナー基底であることは S の定義から自明であり、G の多項式は明らかにモニックであるので、簡約性と一意性を示せばよい。まず、Gの簡約性について、g_1≠g_2∈G、f∈K[x_1,...,x_n]で、g_1→_{g_2} f なるものが存在すると仮定して矛盾を導く。g_1→_{g_2} f が先頭で簡約されている場合、HT(g_2)|HT(g_1)から、S'=S\{HT(g_1)}もHT(I)の基底となるが、これはSの最小性に矛盾。先頭以外で簡約されている場合、HT(f)=HT(g_1)、f < g_1となり、g_1の最小性に矛盾する。よって、Gは簡約グレブナー基底。次に、一意性について、Hをもう一つの I の簡約グレブナー基底とする。g を対称差 G△H の元で、HT(g)がHT(G△H)の中で最小のものとする。ここで、g∈G\H としても一般性を失わない。この時、h∈HでHT(h)|HT(g)なるものが存在するが、Gの簡約性から、h∈H\Gである。したがって、g の最小性から、HT(h)|HT(g)は、実はHT(h)=HT(g)である。さて、f=g-h を考える。gとhはモニックから、HT(f)<HT(g)=HT(h)を満たし、さらに、HT(f)∈T(g)またはHT(f)∈T(h)が成立する。HT(f)∈T(g)とする。f∈Iから、あるp∈GでHT(p)|HT(f)となる。しかし、これは g のある項はGのある元の先頭項で割り切れることになってしまい、Gの簡約性に矛盾する。すなわち、これで、体上の多項式環 K[x_1,...,x_n] のイデアル I に対して、その簡約グレブナー基底は一意的に存在することが示せた。□」

すごーい！君は数学の証明が得意なフレンズなんだね！

俺は思わず語彙力を失う。

そのくらい、導来圏の口から出た証明は、一部の隙もなく正しかった。

一時、騒然とする会場――。

まるで、よく推敲されたテキストのような証明に、俺は感動さえしていた。

「さて、解答の審査が終わりました☆☆ ………………導来ちゃん、お見事！正解です！！☆☆←やったね！） しかも〜、回答時間は、なんと２８秒！！」

こマ？

早すぎる。

いや、早すぎる。

早すぎだろ。

２３歳の俺が、３時間かけてじっくり考えた問題は、８才の少年に、わずか３０秒で解かれた。

いや、早すぎるだろ。チートかよ。

何が起こったんだ。

「ということで〜☆☆本条ちゃんの出題（こうげき）は失敗です〜☆☆」

――不正。

この驚くべきスピードに、そんな言葉が頭をよぎったが、残念ながら、不正をするには２８秒という時間はあまりにも短すぎる。

……では、なぜ？？

「カッ。教科書通りのつまらねえ問題出しやがって。３０秒も持たなかったじゃねえか。」

導来圏は、小指で耳を掘りながら、同時に鼻もほじくっている。

その姿はどこからどう見ても８才児だ。

簡約グレブナー基底の一意性を証明できるとは、外見からはとても判断できない。

「あーあ。期待はずれだ。何のひねりも刺激もねえよ。……本条圭介、お前、大学の４年間で、何学んでたんだよ？」

計算機代数だ。グレブナー基底だ。

そして、大学は５年目だ。

いやいやいや、いくら何でも小学生に説教される筋合いはない。

しかし、導来圏の数学的能力は認めざるを得ない。

まさか、グレブナー基底の知識まであるとは。

もしかしたら俺と勝負することを予測して、事前に周到なる準備をしていたのかもしれない。

「確かに、今回は、俺の出題は失敗した。しかし、次は別の分野の問題で攻めればいいだけだ。いくらなんでも小学生に、大学４年間で培った知識で負けるわけにはいかない。」

「はあ。だからお前はつまんねんだ。」

導来圏がため息混じりに言う。

まるでおもちゃに飽きた子どものようだ。

いや、子どもなのだが。

「ど、どういう意味だよ！？」

「ケッ。そのままの意味だ。お前が知識でオレに勝てるはずがねえのさ。」

未だ言葉の意味がわからない俺をよそに、導来圏の背後のカーテンが開かれた。

300を優に超える本が、本棚に陳列されている。

特に、白に黄色の背表紙のものが目立つ。

これはまさか――

「Graduated Text in Mathematics。通称GTMは、アメリカの大学院生ように作られた数学のテキスト群で、その巻数は、274シリーズまで及んでいる。オレがただやったことは、ここにある GTMの内容を、一字一句すべて記憶しただけだ。オレの過剰なるスキル『過剰性能（オーバースペック）』を使ってな。」

へ…………え！？

どゆこと！？

記憶？？え、これ全部？？

「オレの『過剰性能（オーバースペック）』の余分な副作用の１つ、『瞬間記憶（システムドライブ）』は、一度見た映像を脳内に完全に記録する。１０００ページくらいの数学書だったら、８秒もあれば記憶できる寸法だ。」

嘘だ。そんな禁書目録を覚えてそうなスキル、現実にあってたまるものか。

そんな幻想みたいなこと、あってはならない。

「例えば、今回お前が出した問題は、GTM 141 Becker Weispfenning "Gröbner Basis"のp.209, Chapter 5, section 4 のTheorem 5.43に "Let I be an ideal of K[X]. Then there exists a unique reduced Gröbner basis G of I w.r.t. ≤." として載っている。ほれ、確認してみろよ。」

ほんとだ。導来圏から渡された数学書には、まったく同じことが書かれていた。

そして、さっき、導来が証明したことも、proof を和訳したものになっている。

少なくとも、導来は数学書を完全に記憶し、問題を聞いた瞬間、それらを検索し、同時にそれを翻訳していることになる。

記憶、検索、翻訳。

この３つを備えているなんて、過剰性能（オーバースペック）、過剰すぎるだろ。

「

語句を検索する副作用『検索探索（ファインダー）』

文章を翻訳する副作用『同時翻訳（エキサイト）』

文章を解析する副作用『構文解析（パース・パーサー）』

暗算で計算する副作用『作業記憶（ワーキングメモリ）』

自動で推論する副作用『自動証明（オートマティック）』

集中状態になる副作用『雑音消去（ノイズキャンセリング）』

睡眠状態になる副作用『強制終了（シャットダウン）』

欠陥を見つける副作用『虫喰修正（デバッギング）』

多層に学習する副作用『深層学習（ディープラーニング）』

音波を聞き取る副作用『集音器機（サウンドコレクター）』

音声を処理する副作用『音声分析（ボイスアナライザ）』

画像を解析する副作用『静画処理（イメージマジック）』

図形を作成する副作用『視覚記号（ピクトグラム）』

何回も繰り返す副作用『再帰関数（リカーシブ）』

同時に処理する副作用『並列処理（パラレルプロセス）』

ケッ。役に立たない邪魔な副作用だけでもざっとこんなもんだ。欲しいなら、１つでも２つでも全部くれてやるよ。

」

/*********導来圏***************************************

*血液型:AB型

*能力:過剰性能（オーバースペック）

*特徴: 過剰な副作用が派生されるスキル。

* ほとんど至るところ万能。

* 別名、派生範疇 (Derived Category)。

*********************************************************/

「…………勝てるはずがない……」

俺は、無意識に、思ったことを、いや事実を、口に出していた。

だって、すでに反則だからだ。

向こうは、人間離れした小学生。

こっちは、落ちこぼれの留年生。

文字通り、俺と導来圏では性能が違う。

「ケッ。こんな勝負早く終わらせようぜ。次にオレが適当に出題して、お前が答えられえなくて終了だ。Categories for the Working Mathematician に載ってるようなExercise 出せば勝手に死ぬだろ。つーか、それも面倒くせえから、もうここで降参しとけよ。」

導来が、侮蔑の眼差しで俺を見下ろしている。

当たり前だ。

彼と俺とでは数学力が違う。

数学ができない俺はゴミみたいなものだ。

あきらめよう。

そう思った瞬間、俺は、自分に向けられている視線に気がついた。

――環奈。

両手を前で強く握ったまま、こちらをじっと見つめている。

その目は微かに濡れ、顔は紅潮している。

そして、数戟管理委員会が彼女を囲っていなければ、今にもこっちに飛び出してきそうな雰囲気だ。

そうだ。これは、環奈のための戦いなんだ。

環奈をかけた戦いなんだ。

プライドを傷つけられて落ち込んでいる場合じゃない。

相手がいくら強くても、戦わない理由にはならない。

勝つためには、戦わなければならない。

これは、勝つための数戟なんだ。

「お前が、圏論の問題を出そうが、微分幾何の問題を出そうが、偏微分方程式の問題を出そうが、コホモロジーの計算を出そうが、基礎論の強制法を出そうが、誰も解けない問題を出そうが、俺が頭かっぽじって死ぬ気で全部解いてやるっ！！！未解決問題でも既解決問題でもなんでもかかってきやがれっ！！！」

俺は、GTMを床に叩きつけて叫んだ。

GTMには罪はない。

罪があるのは、さっきまでの不甲斐ない俺だけだ。

「あの〜。本条ちゃん、熱くなってるのはいいんだけど〜、次の出題タイムは〜、今じゃなく〜、明日からだからね〜」

平等院補題が、うざったそうに説明する。

え、あ、そうなの？今じゃないの？

「はい！ということで、漸問答（タルタリア）、一日目お疲れ様でした☆☆ 今日は〜、温泉にでも浸かって〜、ゆっくり体を休めてちょ☆☆ 導来ちゃんの出題は〜、明日の朝からだからね〜☆☆( ͡° ͜ʖ ͡°)」

***

こうして、漸問答（タルタリア）の一問目は終わった。

長いようで、時間的にはあっという間だった気もする。

というか、ここに来てから、色々なことがありすぎて、ようやく気持ちが落ち着いて来たというべきか。

会場からの去り際、導来は「カッ。ま、せいぜい悪あがけよ。」という言葉だけを残していった。

相変わらずつまらなそうな顔をして、さっきの俺の言葉にどう反応しているかは、よく分からなかった。

しかし、この数戟の最中に、ゆっくり休めるわけがない。

明日の問題に答えられなけらば、この数戟に負けるのだ。

緊張の糸を切らすわけにはいけない。

対策という対策を練らなけらば。

カポン。

そんなことを、俺は温泉に浸かりながら考えていた。

温泉の産地、群馬。

温泉の効能には、学力促進もきっとあるはずだ。

血流が上昇して、頭の回転が早くなるとも聞いたことがある。

ふう。44度の熱いお湯が、体を芯から温める。

「少し、熱いかもしれない。」

隣の南條が、ボソッとつぶやいた。

というか、いたのか。

まあ、確かに、４４度のお湯はちょっと熱めだ。

「少し、冷まして持って来ればよかった。」

そう言って、南條は湯呑みに入ったお茶をすする。

なるほど。そっちか。

確かに湯気も立って熱そうだ。

というか、どこから持って来たんだ、それ。

「本条、今日は、お疲れ様だった。よく健闘した、と思う。」

南條は、お茶をすする手を止めて言う。

「ああ、ありがとう。数戟管理則とか、南條とファミレスで対策したのが役に立ったよ。まあ、俺は自体は役に立たなかったけど。」

「否。そんなことは、ない。本条は、あの場で、あのプレッシャーの中で、出来る限りの問題を作成した。導来圏の過剰性能（オーバースペック）が過剰だっただけ、だ。」

「え、あ、ありがとう。」

南條から、励まされるのは珍しい。

いつも、厳しいことを言われてるので、なんか若干恥ずかしくなる。

それと、今気づいたんだが、南條は、見た目は美少女なので、なんというか、その、俺は今、女の子と一緒に温泉に入って……いるかのような錯覚がする。

お湯のせいもあってか、俺は顔がだんだん熱くなってきた。

「お、俺は、もうあがるよ！」

いかん。いかん。

のぼせて倒れたら大変だ。早く逃げよう。

「ちょっと、待って。」

「あひゅっ！」

南條に腕を掴まれた俺は、思わず変な声を出してしまう。

お湯で濡れた南條の髪が、白い額を露わにしている。

裸眼のはずのその瞳は、いつもより少し大きく見える。

「本条に、言わなければならないことがある……」

言わなければならないこと……

まさか。いや、まさか！

「ちょっと、ちょっとタンマ！いや、今裸だし、あひゅーだし、心の準備っていうか、なんというか、壊れかけのレディオっていうか、まだ思春期の少年っていうか……」

「少年？思春期？」

「いや、だってね！俺、思春期だからね！まだ童貞だからね！大人になってないからね！」

「よくわからないが、とにかく言う、ぞ。」

俺は、覚悟を決めた。

「……この、漸問答（タルタリア）には、必勝法がある。」

え、あ、そっちね。なるなる〜。

***

温泉から上がって、自分の部屋に戻ると、群城が一杯やっていた。

もう一度言うが、自分の部屋に戻ると、群城が一杯やっていた。

「おっ！圭介！遅かったなっ！」

遅かったなではない。

そして、片手に一升瓶を持ちながら、一升瓶を振り回して言うセリフでもない。

というか、どこから持って来たんだ、それ。

「お兄ちゃん……おかえり。」

群城の横で、妹の環奈も座っていた。

手には、オレンジジュースを握っている。

「ほれ！明日もあるんだから、今日は存分にリラックスしやがれ！南條もお茶飲むだろ！？」

「頂く。」

まったく、明日もあるというのに、こいつはいつでも騒がしい。

そう愚痴りながらも、軽く飲むことにした。

１時間くらい経って、突然、群城に肩を抱かれた。

こいつ酔ってるなと思ったが、群城は以外にも冷静な声でこう囁いた。

「……環奈ちゃん、このセミナーハウスに来てから元気がないんだ。……なんかこう思い悩んでるというか、抱えているというか……。今回のことに、責任感じているのかもな。……だから、せめて環奈ちゃんの前では、アタシらが、楽しんでいる雰囲気を出そうぜ……。」

群城、お前、イケメンかよ。

確かに、ここに来てから、環奈の様子はおかしい。

もしかしたら、今回の誘拐事件に何かあるのかもしれない。

いや、あったとしても、環奈が自ら言い出したいタイミングを、兄として待つしかないのだ。

結果としては、ここで強引にでも聞いておけばよかったのかもしれない。

俺は、この時、あんなことが起きるなんて想像もしていなかったのだから。

***

翌朝、目が覚めると、部屋には誰もいなかった。

群城と、環奈は自分の部屋に戻ったとしても、俺と同室の南條の姿もない。

この後すぐに、群城ら二人の部屋にも誰もいないことに気がつく。

嫌な予感がした。

俺は、とりあえず、急いで宿泊所からセミナーハウスに向かう。

セミナーハウスの中に入ると、そこには、平等院補題だけが、テーブルの上に座っていた。

同時に、黒子により、セミナーハウスの鍵が施錠された。

「おはようございます☆☆ 本条ちゃん！！☆☆」

補題が高らかに、声を上げる。

俺らの他には誰もいない教室に、声は渇いて響く。

「そして〜、同時に〜、導来ちゃんから、問題が出題されました！！☆☆」

***

【問題】

このセミナーハウスの周囲、半径5km以内には、13の小屋がある。

小屋は、全部で31本の電話線でつながっており、つながっている小屋の関係は図のようになっている。

図：(省略)

図の説明：

それぞれの小屋と電話線でつながっている小屋の関係。

（例えば、小屋３は、小屋１、小屋９、小屋１１と電話線でつながっている。）

小屋１：3,4,5,6,7,10

小屋２：5,9,10,12

小屋３：1,9,11

小屋４：1,7,8,9,10,12

小屋５：1,2,7,8,13

小屋６：1,8,9,13

小屋７：1,4,5,9,12,13

小屋８：4,5,6,11

小屋９：2,3,4,6,7,10,11

小屋１０：1,2,4,9,12,13

小屋１１：3,8,9

小屋１２：2,4,7,10

小屋１３：5,6,7,10

この時、次の２つの条件を満たす、３つの小屋 A,B,C を探せ。

条件１：A,B,Cは互いに、電話線でつながっていない。

条件２：A,B,C以外の小屋はすべて、A,B,Cのうちのどれか１つと電話線でつながっている。

ただし、次の添付ビデオを見てから、回答を始めること。

***

なんだ、この問題は。

添付の図には、円が描かれていて、その円周上に、１３個の点と、それらを結ぶ３１本の直線が描かれている。

そして、環奈たちはどこに行ったんだ？？

そうこうしている内に、目の前のスクリーンでビデオが再生された。

『カッ。本条圭介、見ての通り、導来圏だ。』

動画の中で、導来圏が椅子に座っている。

『このビデオが、再生されているということは、たった今、問題が出題されたわけだが、今から、問題とは関係ないことをお前に説明しよう。』

？どういうことだ？

『問題に出題された小屋は、実際にこのセミナーハウスの周りに存在する。もちろん、電話線もつながっているし、その関係も図で説明した通りだ。さて、問題とは関係ない、さして重要でもないことの１つ目だが…』

ビデオのディスプレイが切り替わる。

いくつかの小屋の内部を写した監視カメラの映像のようだ。

そこに映るのは……

！？

『問題の答えとなる３つの小屋には、それぞれ、群城すず、南條体、そして、本条環奈が監禁されている。』

椅子に縛られ、目隠しをされたあいつらが、ディスプレイの中にいる。

なんで！？

『そして、関係ないことの２つ目、今から、この１３の小屋は、１０分ごとに１つずつ爆発していく。２時間後には、全てが燃える計算だ。』

はあ！？何言ってんだこいつ。

『そして、関係ないことの３つ目。問題とは関係のないヒントをお前にやろう。それは、

「整数は、数学の女王」

だ。では、せいぜい頑張ってくれ。』

瞬間、遠くで、ボンと鈍い音がした。

窓を見ると、白い煙が森の中から揚がっている。

「それでは、漸問答（タルタリア）、第二問目、本条ちゃんの回答時間のスタートです！！☆☆」