最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。

第4話

『１＋１＝０』

いちたすいちはに。

あれは、小学生のときだったろうか。

「ぶぶー！いち足すいちは、田んぼの田だろ！ばっかでー！」

「すすのばーか！ばーか！」

からかう男子の集団に、群城すずは、椅子に座ったままずっと下を向いている。

この頃の群城は、今からは想像できないくらいおとなしい女の子だった。

「……１足す１は…………２だもん。」

いつもの昼休み。

騒がしい教室の中、すずちゃんは、かぼそい声でつぶやく。

「なんかいってるぞこいつ！」

「すすさーん？」

「大きな声で、発言しないと、聞こえませんよー？」

俺は、いや僕は、離れたところで、「すばらしい数学者たち」を読んでいた。

すずちゃんとは、家が近いが、助ける理由はない。

あー！こいつらつきあってるんだー！とバカにされるに決まっている。

「みろよこいつの筆箱！」

「変なのー！」

「壊しちゃおうぜ！」

僕には関係ない。

そう思っていたが、気がつくと、すずの席の前に僕はいた。

「いち足すいちは――」

このとき、何て言ったのかを、俺は覚えていない。

＊＊＊

「おい、理解できてるか？」

群城の言葉に、ハッとする。

いつの間にか、昔のことを思い出していた。

話はたしか……１足す１は、０、だったはずだ。

「わかってる。１＋１＝０ってことだろ？」

「ではその理由は？」

なんか尋問されてるような気分になったが、落ち着いて答える。

「えーと、今は、０と１しかなかった世界だ。０＋０は当然０。０＋１は１。１＋０も１。残るは、１＋１はいくつかってことになる。」

「ふむ。それで？」

「もちろん、０と１しかないから、１＋１は、０か１かのどっちかだ。」

１＋１＝０

１＋１＝１

俺は、紙に２つの式を書く。

「問題は、どっちの方が、筋が通るかってことだ。」

「スジねえ？」

「１＋１＝１の時を考えよう。」

１＋１＝１

「だから、式の両辺から、１を引くと、」

１＝０

「これは、おかしい。だって、１と０は違うものだから。嘘と真実は同じことってなってしまう。」

「まあ世の中には、そういうこともあるけどな。」

「……茶化さないでくれ。」

群城は、俺が喋っているのが癪なのか、つまんなさそうに俺の説明を聞いている。

気にしないようにして、続ける。

「一方、１＋１＝０は矛盾しない。」

１＋１＝０

「両辺から、１を引けば、」

１＝−１

「だが、さっきと違って、−１は０ではない。０と１の世界では、１＋１＝０でも、矛盾は起きない。」

「ふん。及第点ってところか。」

群城は、鼻を鳴らして、俺の答えを評価した。

「お前の解答を厳密に言えば、１＋１＝０とすれば、０と１の集合は和に関して群になるってことだが。」

「なんだ群とか使ってよかったのか。」

「アタシがいつ禁止した？」

嘘つき問題とか、初等的な話だったから、簡単な説明が求められていると思っていた。

群城は、口をつぐんだ俺に、とどめを刺す。

「というか、代数学の授業で、二元体F_2とかやったから、標数が２だから、の一言でよかったんだがな。」

なんてこった。

自信満々に語っていた俺はなんだったのか。

まあ、恥はかいたが、おかげで、見られぬ巨乳にも目が慣れ、冷静な思考を取り戻すことができた。

「それじゃあ、話を戻そう。」

群城は、紙に書かれた y = x + 1 を指差す。

「これは、さっきの議論から、x に０を代入すると１、１を代入すると１＋１、つまり０を返す関数だ。」

「ああ。そうだな。」

「これは、Aの発言の真偽に合致する。つまり、y = x + 1 は、」

A. 「Bは嘘をついている」

「と同じ意味を持つ。」

「えーと、Aが x 、Bが y に対応していたんだったな。」

「５分も経っていないんだから、忘れるのは早すぎるぞ、童貞め。」

「童貞で悪かったな。」

「無駄グチ叩いてないで、早く書け。」

A. 「Bは嘘をついている」　⇄　y = x + 1

「右側を少し、変形すると、」

x - y + 1 = 0

「となるから、」

A. 「Bは嘘をついている」　⇄　x - y + 1 = 0

「が成り立つ。」

群城の口が早くて、書くのが追いつかない。

でも、これは少し見慣れたものになってきた。

「これって、x と y に関する多項式ってことだろ？」

「へ、多少わかってきたじゃないか。それじゃあ、BとCの発言についても、それぞれ『多項式化』してもらおうか。」

たぶん、群城は、自分で説明するのが、めんどくさくなっていたようで、俺に丸投げしてきた。

女王さまさまだ。

そんなことも言っていられないので、もう一度、嘘つき問題を見直す。

＊＊＊

問題. この中で嘘をついているのは、誰か？

A. 「Bは嘘をついている」

B. 「Cは嘘をついてない」

C. 「AとBのどちらかは嘘をついてない」

＊＊＊

今、Aの発言が、多項式で表現できた。

次に、Bの発言だ。

Bは、「Cは嘘をついてない」と言っている。

これは、Aの「嘘をついている」発言とは逆の感じだ。

Bの発言が真実のとき、つまり、y = 0 のとき、Cの発言も真実、つまり、z = 0 となる。

逆に、Bの発言が嘘のとき、つまり、y = 1 のとき、Cの発言も嘘、つまり、z = 1 となる。

これをまとめると、簡単だ。

y = z

多項式 = 0 で書くと、

y - z = 0

となる。だから、

B. 「Cは嘘をついてない」　⇄　y - z = 0

よし。いい感じだ。最後に、Cの発言だ。

C. 「AとBのどちらかは嘘をついてない」

であるから、Cの発言が真実のとき、z = 0 のとき、AとBのどちらかの発言は真実。つまり、x = 0 または、y = 0。

そして、Cの発言が嘘のとき、AとBはどっちも嘘をついているから、x = 1 かつ y = 1。

若干、ややこしい。

うーん。これをどう多項式で表現すれば、いいか。

分からず、ふと横を見ると、群城が湯呑み茶碗を１０個以上、テーブルに広げていた。

毎回、茶碗に入れてくるのが面倒で、給水コーナーから、一気に取ってきたらしい。

待てよ、自分で取りに行けるなら、最初俺はパシらなくてもよかったのでは！？

「まだできないのか？」

両手に茶を持って、ごくごくと飲んでいる群城が、早くしろと俺を急かす。

「えーと、もうちょっとなんだが。」

「どれ。」

群城が、体をぐいっとこちらに持ってくる。

胸が肘に当たりそうで、ドキッとしたが、わざとではなく無意識でやってるようだ。

群城の体温をかすかに感じる。

「素直に考えてみろよ。」

「素直に？」

「x = 0 または y = 0 と同値な条件はなんだ？」

あ、xy = 0 か。

そうか、z = xy とすればいいのか。

このとき確かに

z = 0 ならば、x = 0 または y = 0 だし、

z = 1 ならば、x =1 かつ y = 1 しかない。

x と y は ０か１のどちらかでしかないことが、ポイントか。

つまり、

C. 「AとBのどちらかは嘘をついてない」 ⇄ z - xy = 0

だ。

「分かった。つまり、嘘つき問題は、次のように変換される。」

A. 「Bは嘘をついている」 ⇄ x - y + 1 = 0

B. 「Cは嘘をついてない」 ⇄ y - z = 0

C. 「AとBのどちらかは嘘をついてない」 ⇄ z - xy = 0

「まあ、お前にしては、よくできたじゃないか。」

「留年したとはいえ、人並みに数学はできるからな。」

「さて、ここまでは、幼稚園のお遊戯会だったわけだが。」

俺は、幼稚園児だったのか。

もはや、家に帰って、バブみを感じてオギャりたい。

「これから、」

群城は、湯呑みの口についた水滴を、舌でなぞるように拭き取って、続けて言う。

「子どもの遊び『嘘つき問題』に、大人のおもちゃ『グレブナー基底』を投入する。」