最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。

第5話

『グレブナー基底で嘘を見抜く』

嘘発見器とは、名の通り、嘘を発見する機械だ。

スパイ映画とかで、腕に変なコードを付けて、脈の動きとかで、嘘をついているかどうか見抜く。

そんなものが現実にあれば、ぜひとも欲しいが。

「さて、お前が解いたように、嘘つき問題は多項式の言葉に変換された。」

A. 「Bは嘘をついている」 ⇄ x - y + 1 = 0

B. 「Cは嘘をついてない」 ⇄ y - z = 0

C. 「AとBのどちらかは嘘をついてない」 ⇄ z - xy = 0

群城が、俺の書いた紙を取り上げ、淡々と語りだす。

「この多項式の等式の列を見れば、いくら鈍感なお前でも、これが何か分かるだろう。」

「ああ……連立方程式だ。」

「つまり？」

「グレブナー基底が使える……ってわけか。」

俺の回答に、群城が微かに微笑む。

「ああ、ただし、注意すべきは、 ０と１の世界のグレブナー基底ということだ。」

俺たちが、普段の生活で数の計算をするとき、それをどこでやってるかは、あまり意識しない。

スーパーでお釣りの計算をしているときに、「俺は今、有理数の中で計算しているぞ！」なんて考えてる奴は、いたとしても変態だ。

「知っての通り、グレブナー基底は、どんな体で計算するかによって、その姿を変える。」

今、群城の言った「体（たい）」とは、数学の言葉で、四則演算ができる数の集まりのことだ。

決して、からだで計算する、とかいやらしい意味ではない。

０と１だけの世界でも、有理数や実数と同じように、足し算、引き算、掛け算、割り算ができる。

「今回のグレブナー基底計算は、０と１で構成される体、F_2で行う。」

０と１からなる「体」は、よくF_2と呼ばれる。

つまり、今から、多項式の係数としては、０と１だけを使えるものとして、グレブナー基底を計算していくわけだ。

計算するには、えーと、

「えーと、Mathematica では、デフォルトでは、有理数体での計算だったよな。それに、オプションを付け加えればいいのか……」

「圭介よ。残念ながら、アタシは、Asir 派でな。」

そう言って群城は、足元のカバンから、キーボードの中央に赤いボタンが付いたパソコンを取り出す。

カバン持っていたのか。

「Asir（アジール） は日本で開発された数式処理ソフトだが、グレブナー基底の計算や他の代数的な計算ができる。それに、なんたって無料（タダ）だ。この際、お前も Asir で計算してみないか？」

「はは、また、今度にしておくよ。」

「そうか？」

「そ、それより、早く計算しようぜ。」

「ま、そうだな。」

なんとか話題を逸らした。

それにしても、どうやらここから先は、群城先生が丁寧に教えてくれるようだ。

「計算する多項式は、」

x - y + 1

y - z

z - xy

「だ。これらのグレブナー基底を Asir で計算するには、例えば、」

nd_gr

「を使えばいい。」

「ほう。」

「nd_gr の中に、さっきの多項式を入れると、」

nd_gr([x-y+1,y-z,z-x*y])

「という感じになる。」

「でも、これだけだとダメだろ？」

「焦るな、童貞。次に、使う変数の順番を入れる。」

nd_gr([x-y+1,y-z,z-x*y],[x,y,z])

「そして、次が重要だ。今回は、０と１の体 F_2 で計算するから、標数２を入力する。」

nd_gr([x-y+1,y-z,z-x*y],[x,y,z],2)

ここで、標数とは、１を足すと０になる回数のことだ。

体 F_2 では、１＋１＝０で、１を２回足したら、０になるから、標数が２だ。

「最後に、単項式順序を指定する。Asirでは、よく使われる単項式順序は、番号で指定できて、今回は、2 : 辞書式順序　を指定する。つまり、右端に２を入れて、」

nd_gr([x-y+1,y-z,z-x*y],[x,y,z],2,2)

「とする。これで、完成だ。それじゃあ、計算してみるぞ。」

[0] nd_gr([x-y+1,y-z,z-x*y],[x,y,z],2,2);

[z^2,y+z,x+z+1]

群城が、タンタカタンとキーボードを叩いて、Asir で実行した。

「よし、答えが出たな。分かるか、圭介？」

「ああ。嘘つき問題の連立方程式を解いた式が、」

z^2,y+z,x+z+1

「つまり、」

z^2 = 0

y+z = 0

x+z+1 = 0

「が解を求めるのに、最適な形ってことだろ？」

「その通り。実際、」

x = 1

y = 0

z = 0

「が方程式の答えとして簡単に出てくる。」

「そして、０が真実、１が嘘に対応していたから、これは」

A=嘘つき

B=正直

C=正直

「を意味するってことか。」

「お前が、最初に出した答えと一緒だろ？」

「……確かに。」

「これで、グレブナー基底で、嘘つき問題を解くことができた。」

Mathematica で計算してみても、

GroebnerBasis[{x - y + 1, y - z, z - x*y}, {x, y, z}, Modulus -> 2]

の入力で、{z^2, y + z, 1 + x + z} が同じように出てきた。

（ちなみに、Modulus -> 2 が標数２を意味している。）

「ふーむ。なかなか面白いな。これ、群城お前が考えたのか？」

「ふ、まあな。元のアイデアは、アメリカで受けた授業で『論理演算を連立方程式に帰着させる』話ってのから、着想を得たんだがな。」

「面白そうな授業だな。」

「実際には、計算効率とかも考えなければいけないが、頭の体操としては、面白い問題だったろ？」

「ああ。楽しかったよ。」

「それでだ。」

群城が急に足を組み替える。

なんだろう。また、何か怒られるのか。

「今度、飯でも行かないか？」

「え？」

「ほら、日本に帰ったばかりで、日本食が恋しくてな。オススメの店とか知ってたら、教えてくれよ。」

意外だった。群城が、俺を飯に誘うなんて珍しい。

まあ、幼馴染みの中だし、断る義理もない。

「ああ。そうだな。じゃあ今度の日曜とかでいいか？」

「お、いいぞ。」

「じゃあ、連絡するよ。」

「……というか、お前、ケイタイ変えただろ。」

「え、あ、そういえば。」

「ったく。変えたら連絡くらいしろよ……」

去年変えた時に、うっかり、留学している群城に、変更を伝えるのを忘れていた。

それから、群城とは連絡を取っていなかったのか。

……そういえば、なんで群城は俺が留年したことを知ってたんだ？

「この際だ、メールじゃなくて、LINEでいいんじゃないか？」

「LINEか。」

「持ってないのか？」

「え、いや。一応入れてるけど、あんまり使ったことなくて。」

友達の少ない俺は、LINEには家族と数人の知り合いしか入っていない。

クラスLINEとか、もしかしたらあったかもしれないが、いや、なかったことを願う。

「ほら。じゃあ、交換するぞ。」

「えーと、どれを押せばいいんだ……これか？」

「違うぞ、ここじゃくて、そっち。」

「どっちだよ。」

「だから、それ……」

「それは、ブーリアングレブナー基底だね。」

突然だった。

背後からの謎の声に、俺たちの会話は遮られる。

そして、俺は殺された。