最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。

第5話

『グレブナー基底と連立方程式』

「で、どうやって、グレブナー基底で解くの？……というか、そもそもグレブナー基底ってなに？」

妹が矢継ぎ早に質問をしてくる。

最初に「グレブナー基底って知ってる？」と聞いてきたのは妹の方だが、もともとこんなに数学に興味があるやつだったか？

もしかしたら、この小一時間の簡単な講義で、妹は数学を好きになってしまったのかもしれない。

早く、早く、と妹が急かすので、俺は分かりやすい言葉を選ぶ。

「グレブナー基底は、言ってしまえば、iPhoneだ。」

「iPhone？」

「iPhoneってすごく便利だろ？」

「あ、うん。」

「iPhoneに限らず、スマートフォンは、今や生活の中に無くてはならない便利なツールだ。」

「そうだね。スマホなんてみんな毎日使ってるもんね。」

「グレブナー基底もすごく便利な道具なんだ。」

そう言って俺は、妹の目をノートに向けさせる。

「今まで、『どうやって、コンピュータで数学を再現するか』ということを考えてきた。自然数、整数、有理数……と、数の世界を広げて。グレブナー基底は、それよりも少し広い世界、『多項式の世界』で活躍する強力なツールなんだ。」

「多項式の世界？」

「 x - 1 とか、 y - 2 とかいう世界だ。」

「ああ、さっき出てきたやつね。」

グレブナー基底、という言葉を口に出すのは、なんだかドキドキする。

それだけ、グレブナー基底は、魅惑的なワードだ。

「グレブナー基底という概念が初めて登場したのは、１９６５年ごろ。ブッフベルガーというオーストリアの数学者の、学位論文の中だ。」

「あれ？グレブナーさんじゃないの？」

「グレブナーは、彼の指導教官、つまり先生だったんだよ。ブッフベルガーは、自分の名前ではなく、敬意を表して自分の師匠の名前を付けたんだ。」

「へー、かっこいいいね。」

「スティーブ・ジョブズ。」

「え？」

「……ブッフベルガーは、コンピュータと数学の分野での、スティーブ・ジョブズだと、俺は思う。彼は、人間と数学の世界に革命を起こした。そして、彼の発見したグレブナー基底は、後に Computer Algebra（計算機代数、数式処理）という一つの数学の分野を作ったんだ。」

「す、すごい人だったんだね……」

「しかもそのとき、ブッフベルガーは、わずか２３歳。」

「…………お兄ちゃんと同い年じゃん。」

妹が残念そうに留年した俺を見る。

なぜだ。

「俺とブッフベルガーを比べること自体おこがましいよ。それに、俺は数学はできない方だしね。」

「え、そうなの！？」

これは謙遜ではなく、紛れもない事実である。

数学を勉強しようと、大学に入ったが、正直あまり肌に合わなかった（逆に言うと、分からないぶん、わかりやすく教えるのは得意なのだが）。

そこで、出会ったのが、コンピュータと数学を融合した分野、計算機代数学であったのだ。

と、話が少し脱線してしまったので、元に戻す。

「グレブナー基底の応用範囲は広くて、代数学や統計学を始め様々な分野の計算ができる。また、それらは多くの数学のソフトウェアで計算することが可能だ。」

「ほー。」

「そして、今や数学者にコンピュータは欠かせない存在。だから、グレブナー基底は数学者の計算を支えていると言ってもいい。特に、代数幾何学などでは、コンピュータの計算から重要な定理が見つかったりしている。」

「ほえー。なんかスゴすぎて、逆によく分かんないね。」

少し、興奮しすぎてしまった。

いや、グレブナー基底に興奮するのは仕方がないのだが。

他にも、広中平祐の話も混ぜようかと思ったが、冗長になりそうなので、また今度にすることにした。

「それでは今から、グレブナー基底の『スゴさ』を実感していこうか。」

「うん！」

いよいよだね、と妹が元気に返事をする。

これからやるのは、連立方程式を機械的に解くこと。

連立方程式が解けるんだ。そう、グレブナー基底ならね。

俺は足元から、林檎マークの付いたパソコンを拾い上げる。

物を床に置いておく癖があるので、机の下は、数学書やコードなんかで散らかっている。

パソコンをスリープ状態から起動し、アプリケーションにある数式処理ソフトのアイコンにマウスを移動させる。

「これは、Mathematicaっていう数学の計算ができる数式ソフトウェアだ。」

「マセマティカ？」

「理系の大学生には一般的かな？大学のパソコンとかには、基本入っていると思うよ。個人のパソコンにダウンロードするとしたら、少し高いかも。でも、簡単な入力で色々な計算ができたり、きれいなグラフを表示できたりするから、勉強の教材としてもとてもいいと思う。ちなみに、WolframAlpha（https://www.wolframalpha.com/）というサイトでは、無料で Mathematica の計算ができる。」

「ほへー。」

「それじゃあ、実際にグレブナー基底を計算してみよう。」

Mathematicaを起動させる。

赤いドリアンのようなシンボルマークが画面に浮き上がる。

そして、「新しいドキュメント」をクリックする。

（パスを通してターミナルやコマンドプロンプトで起動させてもいいが、こっちの方が妹には分かりやすいだろう。）

「まず、GroebnerBasis と入力する。」

GroebnerBasis

「グロエブネー、バシス？」

バシス。天空の城が１つ滅びそうな響きだ。

「あー、グレブナーベイシス。日本語でグレブナー基底だよ。ほんとは、Gröbner Basis てな感じに、o の上にウムラウトがつくけど、英語だとこの表記になる。」

「ふーん。」

「次に、[ ]の中に多項式を入れる。この場合、計算したい連立方程式を入れてみよう。試しに連立方程式」

x - 1 = 0

y - 2 = 0

z - x - y = 0

「を解こうか。」

「うん。」

「これらの多項式 x -1, y - 2, z - x - y を入れて、」

GroebnerBasis[{x -1, y - 2, z - x - y}]

「とする。」

「この{ }ってなに？」

「ああ、単に、多項式をまとめているだけだよ。」

「なんだー。これで計算できるの？」

「まだだ。グレブナー基底で連立方程式を解きたいときは、『どの変数を消したいか』を決める必要がある。」

「へんすうをけしたいか？」

妹は、聞きなれない言葉に首を傾げる。

「そうだ。『連立方程式を解く』ってことは、『変数を消す』ってことなんだ。」

「よくわかんないな。」

「例えば、前にこの連立方程式」

x - 1 = 0

y - 2 = 0

z - x - y = 0

「を z について解いたときって、 z = 3 が答えとして出ただろう？これって、最後の式、」

z - x - y = 0

「から、x と y を消去したってことなんだ。」

「あ、なるほど！」

「そこで、今は、x と y という変数を消したいから、」

{x, y, z}

「という順番で入力に加える。これは、x と y を消していって、最後に z を残しますよって意味でもある。」

「おお〜」

「まとめると、」

GroebnerBasis[{x -1, y - 2, z - x - y}, {x, y, z}]

「という入力になる。」

「なんか、複雑だね。」

「でも、１個１個は分かるだろう？」

「あ、うん！」

「そして、これを Shift+Enter などで実行すると、」

{-3 + z, -2 + y, -1 + x}

「というのが表示された。」

「なんか、多項式の集まり？」

「そう。実は、これが、連立方程式の多項式から出てくる、『グレブナー基底』なんだ。言うならば、グレブナー基底とは、『性質のいい多項式の集まり』だ。」

「うーん。なんだかよく分からないなあ。」

「上の例を見てみよう。よく見ると、{ }の中に多項式が３つあるのが分かるな？」

「そだね。」

「そのうち、一番左のものは何かな？」

「えーと、-3 + z？」

「そうそう。見やすいように順序を変えると、」

z - 3

「となる。」

「でも、これがなんなの？」

「これが、さっきの連立方程式の z についての解なんだ。」

「えっ！？」

妹が驚いた顔をする。少しヒントを出す。

「z - 3 = 0 は？」

「z - 3 = 0 は…… そうか z = 3 か！」

分かってそうだが、一応確認してみる。

「では、{-3 + z, -2 + y, -1 + x} の他の式についてはどうかな？」

「え、えーと。」

x - 1

y - 2

z - 3

妹がノートに {-3 + z, -2 + y, -1 + x} の多項式を並べ替えたものを書く。

「これに = 0 を付ければ、」

x - 1 = 0

y - 2 = 0

z - 3 = 0

「ってなって、」

x = 1

y = 2

z = 3

「が出てきて、これって、たしかに、」

x - 1 = 0

y - 2 = 0

z - x - y = 0

「の解になってるかも！」

「そう。この場合、グレブナー基底ってのは、『連立方程式の解』になる多項式の集まりなんだ。」

「へー！」

妹は関心ありげに返事する。

「じゃあ、他の例を見てみよう。」

2x + 3y = 5

x + 2y = 4

「を解こう。まず、手計算で解くと、どうなるかな？」

「えーっと、２つ目の式に、２を掛けて、」

2x + 4y = 8

「んと、上の式からこれを引いて、」

(2x - 2x) + (3y - 4y) = 5 - 8

「そして、整理すると、」

-y = -3

「だから……」

y = 3

「えと、これを２つめの式に代入すると、」

x + 2×3 = 4

→ x + 6 = 4

→ x = -2

「つまり、連立方程式の答えは……これだ！」

x = -2

y = 3

「よくできました。」

「えへへ。」

「それじゃあ、これを愛しのグレブナー基底で確認してみよう。連立方程式」

2x + 3y = 5

x + 2y = 4

「つまり、」

2x + 3y - 5 = 0

x + 2y - 4 = 0

「を解くには、さっきと同じように入力して、」

GroebnerBasis[{2x + 3y - 5, x + 2y - 4}, {x, y}]

「こうなる。今回は、z がないから、{x, y}となる。」

「ふむふむ。」

「ここで、Shift+Enter で実行すると、」

{-3 + y, 2 + x}

「おお？」

「これに = 0 を付けてみれば？」

「あーと、-3 + y = 0 と 2 + x = 0 だから……」

x = -2

y = 3

「あ、解けてる！」

「な、すごいだろ？」

「うん！中学のとき、これがあれば、宿題が楽だったのになあ。」

妹は、キツツキのように顔を尖らせて、ぼやく。

グレブナー基底のすごさが分かってきたようで、俺はとても嬉しい。

それじゃあ、もっともっとグレブナー基底さんの魅力に気づいてもらおう。

「では、本題に入ろう。」

「本題？」

「忘れたのか？俺たちは、無理数を計算するために、連立方程式を解くために、グレブナー基底編に突入した。」

「あ、そうだったね。」

「おいおい……。俺たちが抱えていた連立方程式は、」

x^2 - 2 = 0

y^2 - 3 = 0

z - x - y = 0

「だったはずだ。」

「うーえーと…… x = √２と、y = √３だったっけ？」

「それと、z = √２ + √３だな。」

「あ、そっか……んー？あれ？もう解けてる？」

「ルートが使えれば、解けてるね。でも、俺たちが欲しかったのは、z の定義多項式、つまり、√２ + √３を多項式で表現する方法だった。」

「な、なるほど。」

「とにかく、入力をしてみよう。」

GroebnerBasis[{x^2 - 2, y^2 - 3, z - x - y},{x, y, z}]

よろしくおねがいしまああああああああああああああああああす！

と、なんとかウォーズみたいに心の中で叫んでから、Shift+Enterを押した。

{1 - 10 z^2 + z^4, 2 y - 11 z + z^3, 2 x + 9 z - z^3}

ああ。

グレブナー基底がスクリーンの上でキラキラ輝いている。

整数に、変数に、+- の記号が多項式の森を作る。

そう、グレブナー基底は、きらめく森だ。

その森の中には、妖精がいる。

変数の肩には、^ が付いていて、これが羽だ。

美しいことに、一番左の林には、z の妖精さんしか住んでいない。

「出てきたな。」

「なんか、さっきと比べて難しいね。」

妹が、ディスプレイを見ながら言う。

どうやら、グレブナー基底の森で迷子になっているようだ。

妹を、妖精さんの林に誘導する。

「一番左側を見てごらん？」

「左側？えーと、これ？」

z^4 - 10 z^2 + 1 = 0

「そうそう。これが、√２ + √３の定義多項式だ。」

「え、ほんとに？」

「疑い深かったら、実際に代入してみると分かるよ。ここではやらないけど、実際、z = √２ + √３を代入したら、」

(√2 + √3)^4 - 10 (√2 + √3)^2 + 1 = 0

「となる。まあ、これは『読者への演習問題』としよう。」

「読者って……誰？」

「はは。よく数学書では、こういって、書くのが面倒な部分を省略するんだよ。たまに、筆者が解けていないケースもあるけど……」

「そんな人いるの？」

「ま、とりあえずだ。」

話を妖精さんに戻す。

「ここで、大事なのは、一番左には、z の妖精さんしか出てこないってことだ。」

「妖精さん？」

「あ、いやなんでもない……ああ、つまりだ、一番左には、z だけの多項式 z^4 - 10 z^2 + 1 が出てきたってことだ。」

「うん、そうだね。」

「だから、z だけからなる √２ + √３の定義多項式を見つけることができたんだ。つまり、」

z = √2 + √3 ⇆ z^4 - 10 z^2 + 1 = 0

「という右側の多項式を見つけることができた。」

「おお〜！」

「これは、x と y 含む元の式、z - x - y = 0 からは分からないものだった。」

「なるほどー。」

「こんな感じに、複雑な連立方程式でも、グレブナー基底を使えば、解くことができる。」

厳密に言うと、複素数の範囲で解けるのだが、それは今は黙っておくことにした。

「それでは、今までやってきたことを復習しようか。」

俺は、今までの要約をノートに書き出す。

自然数←正確に計算できる

整数　←正確に計算できる

有理数←正確に計算できる

実数　←小数表示なら、近似値で計算できる

しかし、近似値は、数学的には「正確」ではない。

実数のうち無理数を２つに分ける。

無理数

|- ピタゴラ数（代数的数）√２、√３など

|- アルキメデ数（超越数）πなど

ピタゴラ数は、多項式で表せる数。

例えば、

x = √2 ⇆ x^2 - 2 =0

y = √3 ⇆ y^2 - 3 =0

など。

多項式で表すことで、正確に数字を「保存」できる。

さらに、グレブナー基底を使えば、

√2 + √3 という新しい無理数も、

z = √2 + √3 ⇆ z^4 - 10 z^2 + 1 = 0

というように多項式で表示できる。

「と、こんな感じかな？」

「なんか、一気に書いたねー。なんだかお腹いっぱい。」

妹が、お腹を触るジェスチャーをする。

「なにか、気になるところはあった？」

「うーん、あ、この『保存』ってなに？」

「これか。√２は、小数だと、正確に表せてないだろ？小数は生のお肉って感じかな？」

「お肉？」

「そう。お肉は、初めはいいけど、時間が経つうちに腐ってきちゃう。計算も同じで、√２を 1.41421356 で計算していくと、どんどん誤差が出る。本当は、√２はそれよりも少し大きいからね。そこで、√２を冷凍庫に入れる。」

「冷凍庫！？」

「そう。それが、多項式での保存だ。言ったように、多項式が正確に計算できるから、腐る心配はない。それにもし、小数の形で欲しいってなったら、解凍して、好きなだけ、1.414213562373095048801688724209 というように計算できるんだ。もちろん、冷凍庫を使う分、電気代、つまりコンピュータがする仕事が多くなるというデメリットもある。」

「なんかわかりやすいね。」

「この正確に計算するってのが、計算機代数の基本的な考え方かな。」

「鮮度を落とさず、お肉を調理するってことだね！」

まあ、厳密には、x^2 - 2 = 0 で保存すると、√２と−√２の区別がつかないので、『x^2 - 2 = 0 と x > 0』で保存しなければならないのだが。

特に、気にならないようなので、そこは割愛をする。

「グレブナー基底で、えーと、定義多項式以外は何ができるの？」

「そうだなあ。この場合だと、他にも、1 / (√2 + √3) の分母の有理化とか、二重根号を√(５+２√６) を外すとか、『式の簡単化』ができるかな。」

「うーん。なんだか難しいかなあ。」

環奈が戸惑っていたので、別の質問に切り替えることにした。

「じゃあ、他に何か聞きたいことある？」

「うーん……ちょっと考えさせて。」

妹は、先ほどのノートのまとめをじっと見つめている。

その横顔は真剣だ。

思えば、小一時間、二人で数学を考えてきたが、とても充実していたような気がする。

「アルキメデ数は、計算できないの？」

妹がいいとこを突いた。

そういえば、「実数は、まだ人類には早すぎる」の伏線を回収していなかったな。

「√２とか√３は多項式で計算できたんでしょ？πはどうなの？」

「多項式ではできないね。コンピュータで正確に計算する方法は、まだないと思うよ。」

「ふーん。それで、『実数は、まだ人類には早すぎる』なんて言ったんだ？？」

妹が下から覗くようにしてこちらを見る。

そのセリフをやっぱり、覚えていやがったようだ。

今となると、若干恥ずかしい。

この話は切り上げて、もうまとめるとしよう。

「グレブナー基底は、すごく便利だけど、計算に時間がかかる場合があって、効率の良い計算の仕方も研究されてきた。」

「へー……ねえ、グレブナー基底って大学で習うの？」

「え……ああそうだな。習う人は、習うって感じかな。数学科でも知っている人は少ない概念かもね。」

「お兄ちゃんはいつ習ったの？」

「えーと、俺は、大学三年生くらいかな？」

「ふーん。」

「なんでそんなこと聞くんだ？」

「え、あ、いやなんでもない！」

環奈がわざとらしく目をそらす。

気になったが、まあいいかと、話を進める。

「グレブナー基底ってのは、すごく便利なツールだけど、勉強するには、少し難しい。大学一年生でも、グレブナー基底の定義をちゃんと理解するには、２、３時間はかかるだろう。ましてや、『５分で分かるグレブナー基底』なんて本が売ってたら、俺が欲しいくらいだ。はは。」

「そんなに難しいんだね。」

「だから、環奈が聞いてきたときには、ヒヤってしたんだけど…………今日は、どうだったかな？」

この一時間の感想を妹に求める。

環奈は、俺の目を見た後、うーんと少し考えを巡らせる。

しばらくして、その小さな口は開いた。

「思ったよりは、楽しかったかな。最初は、数字がたくさん出てきて、戸惑ったとこもあったけど……。ひとつ、ひとつ、ていねいに考えていけば、わかるんだなって、実感した気がする。さすがに、グレブナー基底は、まだよくわからないけど笑……。あ、でも、すごいものなんだなってことはわかったよ！……それに……お兄ちゃんが勉強していることが、少し知れてよかったな…………留年してからすごく心配だったし……」

妹は、恥ずかしそうに視線を下に落として、そうつぶやく。

……確かに俺は、留年してから、家にいることが多くなった。

これは自分の責任だし、親には迷惑をかけていることは申し訳ないと思っていた。

しかし、妹の気持ちに気づいていなかった。

いつの間にか、こんなにも心配されていたなんて。

妹との、この一時間は、すごく楽しかった。

久しぶりに笑顔になれた、と言ってもいい。

数学を話すとき、グレブナー基底を語るとき、妹の答えを聞くとき、妹の成長を見たとき、そのどれもに心をワクワクさせた。

妹には、感謝をせねばならない。

「……べ、別に、お兄ちゃんのこと気にしてた、ってわけじゃないんだから…………で、でも……数学のこと……話すお兄ちゃんは…………ちょっとかっこよかったかも……」

そう言って環奈はごにょごにょと口ごもる。

気づけば、もう夕方で、部屋は薄暗くなっている。

環奈の顔がかろうじて見えるくらいだ。

カラスの鳴き声が遠くから聞こえる。

ゆっくりと、二人だけの時間が流れる。

そのときだ。

「あ、あのね！お兄ちゃん！」

妹が、そう言って勢いで椅子から立ち上がる。

その顔は興奮からか、やや紅潮している。

何か言おうとする。

「実は、グレブナー基底のこと、聞いたわけはね！」

そう言って、座っている俺の前に一歩出る。

その瞬間だった。

妹が突然ぐらつく。

しまった。

床に散乱している数学書を踏んだようだ。

この暗さのせいもあって、足元がよく見えなかったらしい。

とっさに俺は、妹を支えようと前に飛び込む。

――間に合え。

むにゅ。

手に、感じたことのない感触がする。

この物体は、なんだ。なんなんだ。

俺は、倒れそうな妹を、その肩を、とっさに抱いた。

後ろから包む込むように。

左手で、左肩を。

右手で、右か……

俺は、自分の右手を見る。

妹の。

妹の、まだ、発達段階の膨らみに俺の右手が当たっている。

いや当たっているより、むしろ揉んでいる。

まずいまずいまずいまずいまずいまずいまずいまずい。

この状況はまずい。

ラブコメじゃあるまいし、俺の人生にこんなラッキースケベはいらない。

落ち着け。ここは冷静になって考えるべきだ。

ここで俺が顔を赤らめ、す、すまん！なんて言ったら、それこそ問題だ。

妹を性的な目で見ていることになってしまう。

それは断じてならん。

ここは、兄らしく、冷静に、ウィットに富んだ言葉で場を和ませよう。

冷静に妹の目を見て、こうつぶやく。

「はは。よく、胸の柔らかさは、二の腕の柔らかさと同じっていうけど、本当なんだなあ。」

――完璧だ。

グッジョブ俺。よくやった。

さて、妹を立ち上がらせようと、様子を伺うも、期待に反して妹の顔はどんどん赤くなり、しまいには沸騰するやかんのようになった。

「おにいちゃんのばかっ！！！！！」

ここで回想は終わるのである。

その後の妹からの、罵詈雑言はひどいもので、サイテー！！だの、だいっきらい！！だの、妹を愛する兄としては、聞くに堪えないものばかりだった。

まったく、事故であることは自明じゃないか。

なぜそこまで怒る必要がある。

いやはや、年頃の妹というものは難しい。

数学なんて二度と教えてやるもんか。

だいっきらい！と叫ぶ、この大嫌いな妹より、

グレブナー基底の方が、俺は大好きだ――。