最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。

第4話

『無理数と連立方程式』

「れんりつほうていしき？」

環奈が驚いたように聞き返す。

「連立方程式って、x とか、y とか出てくるやつ？」

首を少し傾げながら、俺に確認する。

「そうだ。x や yの式が出てくるものだ。受験とかで散々解いただろ？」

「うん、嫌っていうほど解いたことはあるけど……。あんまり好きじゃないかな。」

「どうして？」

「だって、式を足したりー、掛けたりー、代入したりー……とかして、頭がこんがらがるんだもん。」

「まあ、計算自体は、単純な作業だよ。」

単純、という言葉に少しムッとしたのか、妹は、リスのように軽くほおを膨らませる。

いかん。言葉に気をつけなければ。

「単純といっても、抽象的な x と y という変数を使っているからね。ここで数学を苦痛に感じる人もいるだろう。テレビとかで、恋の連立方程式とかいうように、難しい数学の代名詞の一つとも言える。」

「ああ。友達にも、苦手な人いたかも。」

「いきなり、連立方程式をやる前に、簡単な計算をしてみよう。」

「かんたんな計算って……どうせ難しいんでしょう？」

「１＋２は？」

ふえっ。。と、妹は変な声を出す。

「３？」

当たり前だが即答だ。

「正解（エセクタ）！」

「……さっきから気になってたけど、そのエセクタ！ってなんなの？」

「ああ、これは破面（アランカル）のフィンドール・キャリアスっていうキャラクターが言うセリフで意味は正……」

「やっぱりいいや。」

「あ、うん、すまん。」

妹に拒否られたら、すぐ謝る。故に侘助。

「では、」

１＋２＝３

「という数式に別の解釈を与えてみよう。」

「別の解釈？」

「そう。ここで、１という数字を x という変数に置き換える。つまり、」

x = 1

「ということだ。これを少し変形すると、」

x - 1 = 0

「が得られる。ここまではいいかな？」

「うん。右側の１を、左側に、マイナスをつけて持ってきた、ってことだよね？」

「そうそう。」

「このくらいなら大丈夫だよ。」

いくら私でも。という自慢げな言葉が続きそうだ。

「同じように２も y と置く。つまり、」

y = 2

「で、変形して」

y - 2 = 0

「だ。」

「ふむふむ。」

「そして、さらに新しい変数 z を考える。zは」

z = x + y

「と、置くことにする。」

「と、置くことにする。」

妹が真似をする。ちょっとかわいい。

「これも変形すると、」

z - x - y = 0

「となるのだ！」

また繰り返すと思って、語尾に「のだ」を付けてみたのだが、黙って真剣に聞いていただけだったのだが。

別に残念というわけではないのだが、話を進めるのだが。

「これで、３つの変数による連立方程式ができた。」

x - 1 = 0

y - 2 = 0

z - x - y = 0

「なんか文字がたくさんだね。それに３つも式があるし。」

ノートを見ながら妹がうーと唸る。

「でも一つ一つは難しくないだろう？」

「うん、そうかも。」

「連立方程式は、一気に全ての式を見てしまうから、難しいって思ってしまうんだ。」

「なるほどー」

「ここで、この連立方程式の意味を考えてみよう。」

「え、意味なんてあるの？」

妹は、屈託のない困り顔で尋ねる。

どうやら純粋に、数式に意味を考えること自体に当惑しているらしい。

「あるさ。ある目的のために俺たちはこの連立方程式を作ったんだ。」

俺は、ノートの式をやさしく手で包みようにして言う。

「それを確認するために、この連立方程式を z に関して解いてみよう。上のすべての式を足すと、どうなるかな？」

「え。えーと。左側は、」

(x - 1) + (y - 2) + (z - x - y)

= z - 3

「ってなって……右側は、」

0+0+0=0

「だから、０のまま？」

「すると？」

「うーんと、」

z - 3 = 0

「あ、だから、」

z = 3

「ってなるよね？」

妹が正しい答えを導く。

「解けたけど……これって結局なにをしたの？」

「１＋２は３だろ？」

「あ、x が１で、y が２だったから、z = x + y の z を求めるって、１＋２をしたってこと？」

「その通り。この連立方程式の意味は、１＋２を計算するってことだったんだ。」

「……でも、なんか、かんたんな計算をわざわざ難しくしてない？」

妹が不満気味にいうので、そろそろ種明かしをすることにした。

「ここで、大事なのは、『数字』の１と２を、『多項式』の x - 1 と y - 2 に対応させたってことなんだ。多項式に置き換えてから、z つまり x+y を計算した。」

「うん。」

「環奈が言ったように、これはわざわざ整数の計算を難しくしているだけで、はっきり言って無駄だ。」

「そうだよね。」

「でも、無理数の足し算を考えてみたらどうだろう。特に、ピタゴラ数（代数的数）。すなわち、√２とか、√３だ。」

「無理数の？」

俺はノートの連立方程式が書かれたページの下半分に書き加える。

x = √2

y = √3

「今度は、√２と√３を、それぞれ x と y と置いてみる。それぞれに対応する多項式は何かな？」

「……対応する多項式ってなんだっけ？」

「ああ、さっきの話で考えよう。１と２を x と y で置き換えてたとき、次のような対応があった。」

x = 1 ⇆ x - 1 = 0

y = 2 ⇆ y - 2 = 0

「これはOKだよな？」

「あ、うん。式を少し変形しただけだよね？」

「そう。この場合、右側は、『多項式＝０』という形になっている。√2 と √3 でも同じように『＝０』となるような多項式を見つけたい。」

x = √2 ⇆ ? = 0

y = √3 ⇆ ? = 0

「なるほどね。」

x = √2 ⇆ x - √2 =0

y = √3 ⇆ y - √3 =0

「ってこと？」

妹が 『?』 を消して上から書く。

「あ、言い忘れてたけど、俺たちが扱えるのは、今のところ有理数だけなんだ。」

「有理数だけ？」

「有理数は、電卓使って計算できたろ？今回は、それを利用して、無理数を計算してみようって段階なんだ。だから、√2って無理数はまだ扱えない。」

「小数にしても？」

「小数って？」

「だって、√2 =1.41421356（ひとよひとよにひとみごろ）でしょ？これを使えばいいんじゃない？」

「ひとよひとよに……は、あくまで近似値で、数学的には正確な値じゃないんだ。例えば、えーと、√2 = 1.414213562373095048801688724209……てな感じに限りなく続く。」

「あ、そっか。」

「そして、有理数のときにも言ったように、無限に続く数字は、コンピュータでは扱えない。」

妹は納得したようで、うんうんと、何回か頷く。

こういう仕草は、いとうつくしだ。

「そもそも、√２って何かな？」

「えーっと、二乗して２になる数？」

「ということは？」

「…… x の二乗イコール２？」

x^2 = 2

「そう！同じように√３は？」

「yの二乗イコール３か！」

y^2 = 3

俺は、さっきの表に今の結果をまとめながら言う。

「要するに、」

x = √2 ⇆ x^2 - 2 =0

y = √3 ⇆ y^2 - 3 =0

「となるんだ。これの右側は、変数と有理数しか含まれてないよな？こういった多項式は、コンピュータで正確に扱える。だから、√２の代わりに、x^2 - 2 という多項式をコンピュータで使うことにする。 」

「ふーむ。」

まだ、若干戸惑っているようで、眉間にないしわを寄せている。

俺は、様子を見ながら続ける。

「x^2 - 2 のような多項式は、√２の定義多項式と呼ばれる。まさに、x^2 - 2 = 0 という式を解けば、√２が出てくるからだ。」

「ああ。二次方程式だね。」

「同じように、√３の定義多項式は、x^2 - 3 だ。それでは、z = x + y、つまり、√２+ √３の定義多項式を求めてみよう。これは、」

z = √2 + √3 ⇆ ? = 0

「となるような、? に入る多項式を見つけることだ。どうかな？」

「なんとなくわかるかも。」

「この場合だと、さっきみたいにパッと出てこないよね。そこで、次の連立方程式を考えることにする。」

x^2 - 2 = 0

y^2 - 3 = 0

z - x - y = 0

「あ、なんか最初にやったやつと似てるかも！」

「そう。この連立方程式を z に関して解くってことは、z の式だけの方程式を見つけるってことだ。それは、結局、」

「z の定義方程式になる？」

分かっていないようで、妹は予想以上に理解していた。

驚いた。

「じゃあ、さっきみたいに足してみるね！」

と、妹は、俺の返事を待たずとも、勝手に計算を始める。

せっせ、せっせ、と鉛筆を走らす姿は、まじうつくし。

計算をする女の子は誰しも魅力的だ。

「あれ？できない？」

妹の式を覗いてみる。

x^2 - x + y^2 - y + z - 5 = 0

うーん、うーん、とその後も悩んでいたが、頭から煙が出たかのように爆発して、ギブアップを宣言した。

「これ、どうやって解くの？」

「気になる？」

「気になる！」

いい反応だ。これでこそ、教えがいがあるといいものだ。

「ヒントとしては、そうだなあ……。それは……俺が、この世で最も愛するもので、時に、子供のように可愛いくて、時に、父親のように頼もしく、時に、母親のように安らぎを与えるもの、を使えば解けるのさ。」

「………………。」

「つまりは、」

若干引き気味の妹を差し置いて、

ここは、兄らしく、カッコよくセリフを決めようとする。

「グレブナー基底？」

先に言われてしまったが、

そこは、兄らしく、かわいい妹にセリフを譲った。

この際、兄のメンツなどささいなことである。

グレブナー基底を使えば、この連立方程式が解けるのだから。