最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。

第3話

『ピタゴラスとアルキメデス』

「どういう意味？実際にあるから、実数なんじゃないの？」

不思議そうに環奈が、問う。

現実にあるから、実数。

実在するから、実数。

Real Numberと呼ばれるその数を、我々はどこまでリアルに扱えるのだろう。

俺はそう心の中で反芻して、妹の質問に応える。

「じゃあ、実数って具体的にはなんだろう。」

「具体的にって……さっきまでやった有理数だって実数だし……あとは、√２とか√３とか？」

「そうだね。他には？」

「うーん……。あっ！円周率とかもそう？」

「そうそう。πもその一つだな。」

「なんだ。結構あるじゃん。」

環奈は、独り言のようにつぶやいた。

思えば、今はこうして普通に話しているが、妹とちゃんと会話をするのは、存外、久しぶりかもしれない。

そう物思いにふけっていると、妹が聞いてきた。

「どうして、『まだ早すぎる』なんて言ったの？円の面積を求めるときとか、数学で普通に使ってるよね？」

「その理由を明らかにする前に、まず実数を２つに分けてみようか。」

「２つに？」

僕は、ノートに長い縦線を一本引く。

「実数は、２種類の数に分けられる。有理数と無理数だ。これは知ってるよな？」

「うん。中学生のときにやった気がする。」

「無理数には、さっき出た、√２、√３、πなどが含まれる。」

「そうだね。」

「さらに、無理数の中でも２種類の数に分けられる。」

無理数の欄にもう一本、縦線を引く。

「もっと分けるの？」

「そうだ。この場合だと、√２と√３は同じチーム。πは別のチームだ。」

「え、何が違うの？」

「一言でいえば、多項式を使って表せるか、否かなんだけど……」

妹の顔が少し曇ったので、話題を少し変えることにした。

「ちょっと昔の話をしようか。」

「昔っていつ？」

「ざっと２５００年くらい前。」

「だいぶ昔だね笑」

「むかし、むかし、あるところに、古代ギリシャに、ピタゴラスという数学者がいました。」

なんだか小さい頃、妹に絵本を読み聞かせたのを思い出す。

「ピタゴラスは、数学のカリスマで、ピタゴラス教団という秘密結社を作り、多くの信者に囲まれていました。」

「なんかすごく怪しそう……」

「彼の教理はこうでした、『すべての数は有理数である』と。」

「有理数？」

「そう。彼らにとって、数の世界は、今よりとても狭かった。信者たちは、それを疑わず、みんなその教理に従っていた。でも、それは永遠には続かなかった。」

「何が起きたの？」

「彼の名前の付いている『ピタゴラスの定理』は聞いたことあるよな？」

「ああ、たぶん中学校でやったと思う。三角形の長さの話だよね？」

けい線に合わせて、直角三角形ABCを描く。

「別名、三平方の定理とも呼ばれるこの定理は、『直角三角形の斜辺の二乗は、他の二辺の二乗の和になる』というものだ。式でいうと、」

a^2+b^2=c^2

「ということだ。」

「そんな感じがしてきた。」

「ここで、a=b=1とると、つまり、二つの辺の長さが１の直角二等辺三角形を考えると、斜辺の長さはどうなる？」

「ちょっと待って……。ちょっかくにとうへんさんかっけい、とか、数学の言葉って、変に長いからわかりづらいんだよね……。えーと、a=1で、b=1だから、」

1^2+1^2=c^2

「で、」

c^2=2

「かな。」

「そうだな。つまり、cは？」

「二乗すると、２になる数……？あ、√２か。」

「その通り。ここで、√２は有理数ではない。皮肉なことに、『ピタゴラスの定理』から、『ピタゴラスの教理』は否定されてしまったんだ！」

「かわいそう。」

「もっと、かわいそうなのは、それに気づいたある信者だ。ピタゴラスは、無理数の存在を否定したいがために、その信者を船から落として溺死させたとも言われる。」

「えー！殺しちゃったの！？」

「現代風にまとめるとこんな感じかな。」

ピタゴラス「万物は数ナリ（有理数ナリ）」

ピタゴラ厨「ピタゴラス様wwwwまじネ申wwwﾌﾞﾌｫwwwピタゴラスの定理ww最高www(´^ω^｀)」

ある信者「ピタゴラスの定理からwwwwwww無理数が出た件wwwwwwwwwww」

ピタゴラ厨「は？何いってんのこいつ。はい特定。凸った。」

ある信者「アーーーーッ!!」

「なんか、余計わかりづらくない？凸ったってなに？」

「……話を進めよう。」

「え、凸ったってなに？」

「とにかく、√２が無理数だったことが、彼らにとって悲劇の始まりだったってわけだ。」

「う、うん。」

なんとか環奈を誤魔化して、話を元に戻す。

「それでは、√２が本当に無理数なのか確認してみようか。これは中学でやってるはずだけど、覚えてる？」

「え、あ、えーと、微妙かも。」

「たぶん、背理法を使って証明しなかったか？」

「あ、なんとなく思い出したような、出さないような……。よくわかんなかったって印象かな。へへ。」

妹は、そう言って頭を軽く撫でる。

その仕草は、まだ幼い。

「じゃあ今から簡単に復習しよう。ポイントは、２の個数だ。」

「２のコスー？」

ノートの新しいページを開いて、

２

とだけ書く。

「さて、２の中に２はいくつあるでしょう？」

「え？どゆこと？」

「そゆこと。」

「…………………………１個？」

俺との禅問答にも慣れてきたのか、環奈は文句も言わず答える。

「そう。正解。」

「ほっ。」

こういう質問には、当たり前に答えればいいことが分かってきたのだろう。

「では、６には？」

「うーん、と。………………あ、２×３だから、これも１個？」

「合ってる。では、６の二乗、つまり３６には？」

「えーーーと。３６は、２かける、２かける、３かける、３。だから、２個？」

「正解（エセクタ）！」

ノートに今の計算結果を書きつける。

それでは、本題に入る。

「では、pを整数としたとき、p^2（pの二乗）には、いくつ２がある？」

「うぇ！？」

「整数の二乗したときの２の個数だ。」

「……そんなのわかんなくない？pは整数ってだけでしょ？」

「本当に、何にも分からないかな？」

俺は、真剣な眼差しで環奈を見る。

環奈は、少しびっくりしたが、ノートの数字を見て、ひらめく。

「あ、偶数個？」

この妹はときたま、理解がとても早い。

こいつは、頭がいいのか悪いのか分からない。

「どうしてかは分かるかな？」

「んと、二乗するってことは、同じものを２つ掛けるわけだから、元の２の個数が倍になるってことでしょ？さっきの６だったら、２の個数が１個だったのが、３６だと２個になってるわけだし。」

「その通り！」

「……でも、これがどう√２と関係があるの？」

いい質問ですねえ、と言いかけたが、流石に古いなと思って、胸にしまう。

「ここで、もう一つの整数qを考える。これは、０ではないとしておこう。同じように、q^2にも偶数個の２が含まれる。」

「うん。」

「では、次の数には２はいくつあるだろうか？」

2q^2

「えーとこれって、q^2に２をかけたってこと？」

「そうだよ。」

「そしたら……q^2には、偶数個の２が入ってて、２には、２が１個あるから、足して、偶数＋１個？」

「それって、いわゆるなんだろう？」

「え？えっと、あ、奇数か！」

「ここで、整理しよう。p^2には、２が偶数個ある。一方、2q^2には、２が奇数個ある。これが意味することは……」

「p^2、と、2q^2、は違う数？」

「大正解！」

環奈は、こういう抽象的な思考にもだんだん慣れてきたみたいだ。

「でも、これがなんで√２と関係あるの？」

「これを見て欲しい。」

p^2 ≠ 2q^2

「これは、さっき言ったことだ。」

「うん。」

「これは、両辺をq^2で割っても異なるままだ。」

p^2/q^2 ≠ 2

「うんそうだね。」

「そして、ルートをかぶせても異なる。」

√（p^2/q^2 ）≠ √ 2

「あ！」

「ここで、√ ２が出てきたね。これは、√ ２は左辺の数と異なることを意味している。左辺は、どんな数かな？」

「うーんと、」

√（p^2/q^2 ） = √(p^2)/√(q^2)

「ってなって、二乗と、ルートは、逆の動きだから……」

√(p^2) = p、

√(q^2) = q、

√（p^2/q^2 ）= √(p^2)/√(q^2) = p / q

「かな！」

環奈は、自分の答えにも自信が持てるようになってきたみたいだ。

「正確には、p、qが負の数のときには、√(p^2) =−p、√(q^2) = −qってなるけど。まあ、ここでは特に問題ないから、√（p^2/q^2 ）= p / qと考えていいだろう。」

「うー。負の数め。」

環奈はそう言って、−pたちを恨めしそうににらむ。

「これで、準備は整った。結論として得られたのは、」

p / q ≠ √ 2

「ということだ。改めて聞こう。左辺はどんな数かな？」

「どんな数って…………。分数？」

「ここで、pとqは、特にこの数って決めてなかったから、自由に決めていいんだ。つまり、p / qも？」

「自由な分数？」

「そう、pとqが整数全体を動けば、p / q はどんな有理数にも姿を変える。つまり、」

「”√ 2はどんな有理数にも一致しない”ってこと？」

「大大大正解！」

思ったより、理解が早く、俺は、ふう。とため息をつく。

「これで√２が有理数でないことが証明できた。どうかな？」

俺は、環奈の方を向き、様子を伺う。

「うーん、話が長かったから、なんかキツネに包まれたような感じかな。」

つままれた、だろと思ったが、口は挟まなかった。

「でも、矛盾とかが出てこなかったから、わかりやすかったかも。」

「あとで、自分でもう一回確認してみればいいと思うぞ。数学で大事なのは、『自分の頭で、納得するまで考える』ことだから。」

「うん。わかった！」

「ちなみに、」

蛇足かと思ったが、口が止まらなかった。

俺の悪い癖だ。

「√３も同じように、３の個数を数えれば、無理数であることが証明できる。もっと言えば、整数mを素因数分解したときに、奇数回しか出てこない素数があれば、√mが無理数であることも示される。つまり、mが平方数でなければ、√mは無理数ってことだ。」

「ん？んんん？」

やっぱり、蛇足だったようだ。戻ろう。

「それじゃあ、次にπの方の無理数のグループについて考えよう。」

「あ、うん！」

「ピタゴラスから、３００年後、それでも、２０００年以上前だけど、同じく古代ギリシャにアルキメデスという天才数学者がいた。」

「あるきめです？」

「そう、彼は、本当に数学の天才で、今でも、世界三大数学者の一人として挙げられる人だ。」

「へー。すごかったんだね。」

「彼の功績の一つとして、円周率の発見がある。」

「πの発見者だったんだ。」

歴史の話をしてるとき、妹は割と興味を持って聞いてくれることに気がついた。

ちょっと逸話も混ぜようか。

「アルキメデスは天才だったんだけど、なんというか、変人でもあった。ある日、お風呂で数学を考えてて、突然アイデアがひらめいて、エウレカ！（分かった！）エウレカ！（分かった！）と、裸のまま街を走り回ったとも言われる。」

「それ、変人というか、もはや変態だよね。」

「え、まあ、そうともいうかな。」

妹の一言に、まるで自分のことを言われたかのように傷つく。

いやいや、アルキメデスは変態じゃない、カッコイイんだ。

そう気を取り直して、

「でも、アルキメデスの最期は、とても壮絶だった。」

「最期って、死ぬときって、こと？」

「そう。当時、アルキメデスの街に、ローマの軍隊が攻めてきた。でも、アルキメデスは、そんなの気にも止めず、地面の上に円の図形を書いて、数学をしていた。そこに、ローマ兵がやってきた。ローマ兵は彼を連行しようとするも、アルキメデスが、数学の邪魔をするな！と拒絶する。それに、怒ったローマ兵は、その場で、アルキメデスを剣で殺してしまう。」

「……殺すなんて……ひどい。」

「アルキメデスは、死ぬ直前まで、数学について必死で考えてたんだ。彼にとって、数学とは、人生そのものだったのかもしれない……。そして、彼の偉業の一つが、円周率πの発見だった。πは、今でも最も重要な数の一つだ。まあ、現代風に言うと、こんな感じかな。」

ローマ兵「ローマから失礼するゾ～（謝罪） 自分、連行いいっすか？ お前アルキメデスっぽいから将軍の元に連行するぜー」

アルキメデス「我の図を踏むな！（迫真）」

ローマ兵「なんだと！お、お前なんか殺してやる！（震え声）」

我ながら、なかなか分かり易かったかもしれない。

「…………お兄ちゃん？」

妹が震えている。そんなに面白かったか。

「なんかもう台無しじゃない！せっかく、『アルキメデス、かっこいいかも』って思い始めてたのに！」

「え、そ、そうか？」

「そうだよ！」

しまった。思わぬところで、妹の機嫌を損ねてしまった。

冗談が通じないヤツめ。

「と、と、とにかくだ。ここまで、２つの無理数を見た。ピタゴラスの√２と、アルキメデスのπがある。」

「……うん。」

妹が不機嫌そうに答える。

「それでは、便宜上、√２みたいな無理数をピタゴラ数、πみたいな無理数をアルキメデ数、と呼ぶことにしよう。」

「……それって、お兄ちゃんが考えたの？」

「え、あ、そうだけど？」

「なんかダサいね。」

「それでは、便宜上、√２みたいな無理数をピタゴラ数、πみたいな無理数をアルキメデ数、とは呼ばないことにしよう。」

もう心が折れそうだ。どこで道を間違えたんだろう。

さっきの現代風のくだりか……。

いくら妹とはいえ、女子高生からダサいと言われるのは、どう考えても死にたくなる。

落ち込んで黙っていると、なぜか分からないが、環奈がやさしく話しかけてきた。

「でも、いいんじゃない？ピタゴラ数、アルキメデ数ってなんかかわいいし。」

「え、いいのか？さっき、ダサいって……。」

「ダサくても、かわいいってこと。ほら、早く続きを話して。」

別にこぼれていない涙を拭いて、頑張って気持ちを上げる。

「ごほん。ちゃんとした数学の言葉でいうと、ピタゴラ数は『代数的数』、アルキメデ数は、『超越数』っていうんだ。」

「むー。なんか難しいね。」

「俺たちは、これから、前者のピタゴラ数、もとい『代数的数』の計算をしていこうと思う。」

「つまり、√２＋√３みたいなことだよね？」

「そうそう。」

「どうやって、計算するの？」

環奈のテンポのいい相槌にようやく気分が乗ってきた。

「それはね、環奈がよく知っているものを使うんだよ。」

「私がよく知っているもの？」

「うん。中学２年くらいでやったやつかなあ。」

「もう、じらさないでよ。」

さて、楽しくなるのはこれからだ。

いよいよ、グレブナー基底まで、あと少し、というところまで来た。

「それはね。」

「うん……。」

環奈の視線をしっかりと惹きつけて、俺は言う。

「連立方程式だ。」