『ひっそり静かに生きていきたい ～拾遺録～』の
『おまけ 仕入れ旅行の帰りに』『６ 勉強会の状況⑴』に出てきた、
10-10の問題の解き方です。
パソコンのテキストで書いたので分数や乗算の表記、図の描画が美しくないですが、その辺はご勘弁ください。
また、もし間違っていたらこっそり教えて下さい。
【問題】
一辺の長さがある整数である正方形があります。この長方形の左上の点を“あ”、左下の点を“い”、右下の点を“う”とします。
この“あ”の点から秒速１短の速さで“い”に向けて動く点“か”があるとします。また“い”の点から秒速１短の速さで“う”に向けて動く点“き”があるとします。
整数秒後、点“か”、点“い”、点“き”を結んで出来る三角形の面積が、元の正方形の面積の８分の１になりました。
これを満たす最小の正方形の辺の長さを求めなさい。
（正方形の辺の長さ、秒数が整数である事に留意！）
あ┏━━━━━━━━━┓
┃ ┃
┃ ┃
か╋ ┃
↓┃ ┃
┃ ┃
┃ き→ ┃
い┗━━━╋━━━━━┛う
【以降 解答例】
① 三角形“かいき”の角“かいき”は直角なので、面積は、
（辺“かい”の長さ）×（辺“いき”の長さ）×１／２
② 元の正方形の面積は、一辺の長さをｘとおくと、ｘ²
この面積の８分の１はｘ²／８
③ 経過した秒数をｔ（秒）とすると、
点“か”も点“き”も秒速１で進むから、
辺“かい”の長さ＝ｘ－ｔ
辺“いき”の長さ＝ｔ
④
ⅰ点“か”は“あ”の点から秒速１短の速さで“い”に向けて動く。
点“か”が点”い”に到達するのはｘ/ｔ秒後
つまり ｔの取りうる値は、0＜ｔ≦ｘ/ｔ
ⅱ点“き”は“い”の点から秒速１短の速さで“う”に向けて動く。
点“き”が点”う”に到達するのはｘ/ｔ秒後
つまり ｔの取りうる値は、0＜ｔ≦ｘ/ｔ
ⅰとⅱにより、0＜ｔ≦ｘ/ｔ
⑤ ③を①に代入して、
三角形“かいき”の面積＝（ｘ―ｔ）×（ｔ）×１／２
⑥ ②と⑤が同じになるから、
ｘ²／８＝（ｘ―ｔ）×（ｔ）×１／２
両辺に８をかけて
ｘ²＝４×（ｔｘ－ｔ²）
全部左に移項すると、
ｘ²－４ｔｘ＋４ｔ²＝０
因数分解をすると、
（ｘー２ｔ）²＝０
つまりｘ＝２ｔ
ｘもｔも整数という条件があるので、最小のｔは１。
つまり最小のｘは２になる。
ｘ＝２、ｔ＝１の時、0＜ｔ≦ｘ/ｔに代入するとｘ／ｔ＝２となる
つまりｘとｔは条件0＜ｔ≦ｘ/ｔを満たす。
よって正方形の辺の長さは２ （答）
（注：綺麗に因数分解してｘとｔが素直な式になる事から、主人公さんは『綺麗に解ける』と言った訳です）
以上……
なおこれは、実際に高校受験にあった問題を、
① もっと因数分解を素直に出来て、
② その結果時間も長さも単純になるように
作り直した問題です。
本来の問題はｔが整数と設定していないのですよ。正方形の一辺の長さだけが整数という事になっていて、解くのに解の公式を使用して、なおかつ『出題者によっては』の部分を考慮しないとマイナスの値が出るという……
そんな問題美しくない！ そう思ったので個人的に美しい形へと修正しました。そこでミスがあったら……ごめんなさい、すぐ直します。なので連絡下さい。