楽しい中学数学入門！～ゼロ偏差値からの数学～

VS「比例」 必殺「四マス法」

「比例」① ～必殺「四マス法」～

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　中学校の計算の全ては、「比例の問題」であると言っても過言ではありません。

　言うなれば、ゲームの序盤から終盤まで登場する、厄介なモンスター種族です。

　今からあなたに『比例』を一撃で倒す必殺技を伝授します。

　その名も「四マス法」！！！

　（ネーミングセンスが終わっててすいません）　

　では早速問題です。

―問題―――――――

　とある美少女フィギュアを８個買うと、値段は1800円でした。

　では、この美少女フィギュアを３個買ったとき、値段はいくらでしょうか？

――――――――――

　まずは自分で計算してみてください。

　考えるときは、紙に書いて整理をしながら。

　数直線や表を書いてみるのも良いかもしれません。

　自分が学校の先生になったつもりで。

　解き方が分からないと聞きにきた下級生に教えるつもりで。

　説明しながら解いてみてください。

　はい。では答えをオープン！

　正解は、675円です。

　では、分かりやすい説明をします。

ー説明――――――

　まず大切なことは、

「フィギュアの”個数と、”値段”が、比例していること」

　に気づくことです。

　”比例”というのは何かというと、「”個数”が二倍になったら”値段”も二倍になる」「”個数”が半分になったら”値段”も半分になる」というように、

「”片方”が◯倍になったら、”もう片方”も◯倍になる」関係を、比例の関係と言います。

　具体的に考えると

「フィギュアの個数を８個から１６個へ、つまり二倍に増やしたら…………値段は1800円から二倍、つまり3600円払わなくちゃいけません」

「フィギュアの個数を８個から４個へ、つまり半分に減らしたら…………値段は1800円の半分、つまり900円になります」

　もう一度言います。

「比例関係」、つまり……

「”片方”が◯倍になったら、”もう片方”も◯倍になる」関係

　今回の場合は、

「”個数が◯倍になったら、”値段”も◯倍になる」関係

　この関係にピンと来たら……

　２マス×２マスの魔法陣。

　合計四マス、マス目を書いてください。

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　　　　|　　　　　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　　　　|　　　　　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

　はい。こんな感じ。

（点線部分は一直線で繋がっています）

　次に、比例関係がある、”二つの数字”。

　今回の場合は、”個数”と”値段”の文字を、表の上に記入します。

|　個数　　|　値段　　|

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　　　　|　　　　　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　　　　|　　　　　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

次に、問題文の中から、

「二つの数字がどちらも分かっているケース」

　を探しましょう。

　もう一度問題文を出します。

―問題―――――――

　とある美少女フィギュアを８個買うと、値段は1800円でした。

　では、この美少女フィギュアを３個買ったとき、値段はいくらでしょうか？

――――――――――

　この中から、

「二つの数字がどちらも分かっているケース」

　を探してみると。

『フィギュアを８個買うと、1800円』

　という情報が見つかると思います。

「”個数”が８個のとき、”値段”は1800円」

　この情報を、四マスの表の上の段に記入してみましょう。

|　個数　　|　値段　　|

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　８　　|１８００　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　　　　|　　　　　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

　はい。こうなりますね。

　では次のステップです。

　次は問題文の中から、

「二つの数字のどちらかが分からないケース」

（二つの数字のどちらかが問題の答えになっているケース）

　を探しましょう。

　問題文をもう一度出します。

　―問題―――――――

　とある美少女フィギュアを８個買うと、値段は1800円でした。

　では、この美少女フィギュアを３個買ったとき、値段はいくらでしょうか？

――――――――――

　はい。

「二つの数字のどちらかが分からないケース」

　を探してみると、

「美少女フィギュアを３個買ったとき、値段はいくらでしょうか？」

　という文章が見つかると思います。

　言い換えると、

『”個数”が３個のとき、”値段”が？円』

　この情報を、今度は表の下の段に書き込んでみましょう。

|　個数　　|　値段　　|

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　８　　|１８００　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　３　　|　　？　　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

　はい。ここまで書けたら、表の完成です。

　ここまでで、下準備はオッケー。

　ここから少しむずかしくなります。

　大切なのは、ここからどう式を立てるか、ということです。

　ここで思い出して欲しいのが、比例の関係です。

「比例関係」、とは……

「”片方”が◯倍になったら、”もう片方”も◯倍になる」関係

　この問題では、

「”個数が◯倍になったら、”値段”も◯倍になる」関係

　これから、この◯に入る数字を求めていきます。

　まずは表の中で、”個数”の列に注目してみましょう。

|　個数　　|　値段　　|

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　８　　|１８００　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　３　　|　　？　　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

　"個数"の列を見ると、上の段に８個、下の段に３個が並んでいます。

　さてここで問題です。

「上の段の数字を何倍したら、下の段の数字になるでしょうか？」

　分かりやすく言うと。

「８に何を掛けたら、３になりますか？」

　もっと分かりやすく言うと、

「８×◯＝３　（◯に入る数字はなんですか？）」

　という問題です。

　少し考えてみてください。

　ヒントは分数です。

　はい。正解は、

　　　３

　◯＝ー　倍　（８分の３）　※分数

　　　８

　です。

　実際に上の式の◯に代入して確かめると。

　　　3

８ × ー = 3

　　　8

　となり、式が成り立っていますね。

―備考――――

　上の式の『＝』の左側は、

　　　８ × ３

左側＝―――

　　　　８

　となり、分母と分子をそれぞれ８で割って約分すると、

　左側＝３となり、これは右側と等しい

　したがって、

　　　3

８ × 　ー = 3

　　　8

　の式は成り立っている。

　―――――――――

　つまり、８から３に変身するためには、

　『変身前の８を分母に、変身後の３を分子に置いた分数』…

3

ーを掛けてあげれば良いのです！

8

上の段から下の段に変身するためには、

　　下の段の数字

×　――――――

　　上の段の数字

　を掛け算すればいい。

　このことを、矢印を使って表に書いてみると。

　　　　　|　個数　　|　値段　　|

　　　　　――――――――――――

　　　　　|　　　　　|　　　　　|　

　　　　　|　　８　　|１８００　|

　３ 　　 |　　　　　|　　　　　|　　　

×ー ↓　　 ――――――――――――

　８ 　　 |　　　　　|　　　　　|　

　　　　　|　　３　　|　　？　　|

　　　　　|　　　　　|　　　　　|　　　

　 　　　　――――――――――――

　と書けますね。

（↓は上の段から下の段への向き）

　　　　　　　　３

『上の”個数”8に　ー　を掛け算すれば、

　　　　　　　　８　

　下の”個数”3になる』

　と表に表すことができました。

　ここまでくれば、あとは簡単です。

　もう一度思い出しましょう。

　比例関係では、

「”個数が◯倍になったら、”値段”も◯倍になる」

　つまり、さきほどは”個数”で考えましたが、

　”値段”についても"個数"と同じく、上の段から下の段へ、同じ数だけ倍になっているということです！！

　すなわち、

　　　　　　　　３

『上の”値段”に　 ー　を掛け算すれば、

　　　　　　　　８　

　下の”値段”になる』

　とも言えるのです！

（個数を◯倍すれば、値段も◯倍になりますからね！）

　具体的な数字を考えます。

　表の右の列に注目してみましょう。

　　　　　|　個数　　|　値段　　|

　　　　　――――――――――――

　　　　　|　　　　　|　　　　　|　

　　　　　|　　８　　|１８００　|

　３ 　　 |　　　　　|　　　　　|　　　３ 　　　

×ー ↓　 ――――――――――――　↓×ー

　８ 　　 |　　　　　|　　　　　|　　　８

　　　　　|　　３　　|　　？　　|

　　　　　|　　　　　|　　　　　|　　　

　 　　　　――――――――――――

　右の列に注目しましょう。

　上が1800円、下が？円。

　つまり、

　　　　 　３

『1800円を ー を掛ければ”？”円になる』

　　　　　 ８

　ので、

　　　　 　 3

　　1800 × ー = ?　

　　　　　 8

　と、式が立つはずです。

　ここまでくればもう簡単！！

　問題の答えは『？』ですからね！

　あとは『＝』の左側を計算するだけです。

　せっかくなので、宇宙一ていねいに計算過程を書いていきます。

　大きな分数になおして、

　1800 × ３

　――――　＝　？

　　 ８

　分母と分子をどちらも２で割ると（通分）

　900 × ３

　――――　＝　？

　　 4

　分母と分子をどちらも２で割ると（通分）

　450 × ３

　――――　＝　？

　　 2

　450を2で割るのは面倒臭いので、

　450を、45×10 に分解してみましょう。

　45×１0 × ３

　――――――　＝　？

　　 2

　すると、10は２の倍数なので、

　分母と分子をどちらも２で割ると（通分）

　45×５ × ３

　――――――　＝　45× 5 × 3 = ？

　　 1

　あとは普通に計算して、

　？＝ 45 × 5 × 3＝45 ×15 = 675

　問題の答えは675円となります。

　ついでに、表の『？』の部分に『675』と書き入れてみましょう。

|　個数　　|　値段　　|

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　８　　|１８００　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　３　　|　６７５　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

　はい。これで表が全て埋まりました。

　この四マス表の良いところは、

「四マスのうち三つの数字が分かっていれば、残り一つの数字を簡単に求めることができるのです！」

※注意して欲しいのは、四マス法は『比例関係にしか使えないこと』です。

　『”個数”を◯倍したら、"値段"も◯倍になる』

　みたいな比例の関係でしか使えません※

　今回は、『上の段から下の段へ』、何倍にすれば良いかを考えましたが、

　実は逆方向、『下の段から上の段へ』、という考え方も成立します。

　今回の場合は、

8

ー 倍すれば、『下から上』に移ります。

3　　　　　　　

　そしてさらに、凄いことに、『左から右→』や『右から左←』も可能なんです！！

　今回の場合は、

『左から右→』が　

1800

―――　倍。

8

『右から左←』が　

　　8

――――　倍。

１８００　

　となっています。表で実際に確認してみてください。

|　個数　　|　値段　　|

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　８　　|１８００　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

|　　　　　|　　　　　|　

|　　３　　|　６７５　|

|　　　　　|　　　　　|　　　

――――――――――――

　この技をマスターして応用すれば、中学の計算は怖くない！

　最後に宿題問題です。

　この問題は、いま解いた問題と比べて『？』の位置が違いますが、大丈夫きっと解けるはず！

　四マス法は万能です！

　よく考えれば解けるはずです！！

―宿題問題①―――――――

　とある美少女フィギュアを4個買うと、値段は320円でした。

　では、この美少女フィギュアを何個買えば、値段が560円になるでしょうか？

――――――――――

（もし分からないことや、改善点や間違い等があれば、応援コメントで教えてくださると助かります）