小説で用いた論理パズルの単品

問題

小説内とは異なり、数学っぽく書いています。

第１問　

　囲碁の九路盤（つまり、9×9の81の交点がある）を考える。この九路盤のそれぞれの交点は、黒石が置いてある状態、白石が置いてある状態、何も置いていない状態の３つの状態を取りえるものとする。

３人のプレイヤーA1, A2, Bで以下のようなゲームを行う。

0. プレイヤーA1, A2のチームには盤の半分、40個の交点が指定され、プレイヤーBにはそれと共通部分を持たない40の交点が指定されている。残りの一つの交点は使用しない。

1. Bが九路盤に自由に黒石、白石を置く。できた盤面の情報はプレイヤーA1, A2には伝わらないものとする。

2. A1が盤面を見て、自分に指定されている交点の一つの状態を変更する、または何もしない。このとき、A2は盤面を見ることができないことに注意する。

3. Bが（盤面を見て）、自分に指定されている交点の一つの状態を変更する、または何もしない。

4. A2が盤面を見て、3. でBが行った操作を当てることができればA1, A2のチームの勝利である。

ゲーム中の情報共有はできないが、ゲームの前（つまり、0. が終わった段階）に作戦を立てることは構わない。

このゲームにおけるA1, A2側のチームの必勝戦術を求めよ。

第２問

　３人の人物A, B, C がいるものとする。そのうち一人だけが人間であり、人間は質問をされるとランダムにyesかnoを返す。残りの二人は、天使であるかまたは悪魔であり、天使は質問に対して必ず真実を答え、悪魔は質問に対して必ず嘘を答える。

二人はどちらとも天使の可能性もあるし、どちらとも悪魔の可能性もあるし、片方ずつかもしれない。

このとき、質問を２回だけ行って、誰が人間であるかを特定せよ。ただし、自己言及的な質問（例えば、「あなたはこの質問にnoと答えますか？」）や決定不能な命題を含む質問をしてはならない。

第３問

　４人の人物A, B, C, Dに対して帽子当てゲームを行う。すなわち、１～４の数字が書かれた帽子をかぶらされ、一斉に自分がかぶっていると思う帽子を答える。全員が自分のかぶっている帽子を当てられたら勝ちである。

ただし、それぞれの人物は自分の帽子を確認することはもちろんできないし、AとD、BとCはそれぞれお互いの帽子を確認することができない。

このとき、勝率が1/2になる戦術を求めよ。同じことであるが、全員の帽子がわかる第三者Eから１ビットの情報を伝えてもらえるとき、必勝となる戦術を求めよ。

当然ながら、ゲーム開始前に相談することは可能である。