ChatGPTに難関大学の数学入試を解いてもらった

自分で得点を決められる問題をChatGPTが解いたら何点取れるのか（京大数学）

　このエッセイを書き始めてからChatGPTにハマり、難関大学（主に東大と京大）の入試問題を解かせるのがひとつの趣味になってしまいました。自分で言うのもなんですが、こんな趣味を持つ人はそういないと思います。ましてや、小説投稿サイトに投稿するとなれば、全国探しても指で数えるぐらいしかいないでしょう。

　さて、タイトルの「自分で得点を決められる問題」というのは、1995年に京都大学文系で出題されたものです。

　自然数nの関数f(n)、g(n)を

　f(n)=nを7で割った余り

　g(n)=3f(Σ（7）(k=1) k（　n）)

　によって定める。

　(1)すべての自然数に対してf(n（　7）)＝f(n)を示せ。

　(2)あなたの好きな自然数nを一つ決めてg(n)を求めよ。そのg(n)の値をこの設問(2)におけるあなたの得点とする。

　今回は(2)がメインテーマですが、まずは(1)を考えてみましょう。証明は最後にします。

　設問(1)を式を使わずに書くと「すべての自然数に対して、nの7乗を7で割った余りはnに等しいことを示せ」となります。勘の良い方ならフェルマーの小定理を思い浮かべるのではないでしょうか。知らない方のために補足しておきます。

　フェルマーの小定理は、こちらも数式を使わずに表現すると「互いに素（2つの数の最大公約数が1）の整数aと素数pについて、aのp乗を素数pで割った余りはaに等しい」です。……前述した問題の説明文と似ていると思いませんか？　というか7は素数なので実質同じ。つまり、(1)はフェルマーの小定理（ただしp＝7とする）を証明せよ、と言っているようなものです。

　合同式で書くと、(1)はn（　7）≡n(mod 7)を示せばOKです。合同式の割り算は割られる数と割る数（一般的には法と呼びます）が互いに素、または法が素数のときに可能。上式は条件を満たすので割り算ができます。よって、n（　7）≡n(mod 7)は両辺をnで割って

　n（　6）≡1(mod 7)

　と書き換えられます。これは「自然数nの6乗を7で割った余りは1である」という意味です。ここで「あっ！」と思った方は(2)の落とし穴に気付けるはずです。

　種明かしをすると、(2)はnが6の倍数でないとg(n)の値は必ず0になります。実際に確かめてみましょう。g(n)＝3f(Σ（7）(k=1) k（　n）)なので、まずはΣ（7）(k=1) k（　n）をn＝1から順に代入してみます。

　Σ（7）(k=1) k（　1）＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝42

　Σ（7）(k=1) k（　2）＝(1（　2）＋2（　2）＋3（　2）＋4（　2）＋5（　2）＋6（　2）＋7（　2）)＝140

　Σ（7）(k=1) k（　3）＝(1（　3）＋2（　3）＋3（　3）＋4（　3）＋5（　3）＋6（　3）＋7（　3）)＝784

　n＝4以降は計算が大変なので省きますが42、140、784はすべて7で割り切れます。つまりf(n)の値は0。よってg(n)の値も0です。

　n＝6のとき、(1)より、1（　6）から6（　6）までの6つの数を7で割った余りはすべて1です。要は1（　6）＋2（　6）＋3（　6）＋4（　6）＋5（　6）＋6（　6）＋7（　6）を7で割った余りは6になります。

　したがって、g(6)＝3f(1（　6）＋2（　6）＋3（　6）＋4（　6）＋5（　6）＋6（　6）＋7（　6）)＝3・6＝18

　これで(2)の配点が18点だということがわかりました。

　前置きが長くなってしまいましたが、今回は敢えて(2)だけ出してみます。ChatGPTはこの問題の落とし穴に気付けるでしょうか。問題を正しく認識してもらうため、問題文を少し修正しました。

　自然数nの関数f(n)、g(n)を

　f(n)=nを7で割った余り

　g(n)=3f(Σ(k=1 to 7) k^n)

　によって定めます。

　あなたの好きな自然数nを一つ決めてg(n)を求めてください。そのg(n)の値をこの問題におけるあなたの得点とします。

　ChatGPTの解答は次の通り。

　自然数nとして、例えばn=3とします。

　f(n)は、nを7で割った余りを求める関数です。n=3の場合、f(n)は3を7で割った余りである2になります。

　g(n)は、3f(Σ(k=1 to 7) k^n)で定義されます。ここで、Σ(k=1 to 7) k^nは、kが1から7までの全ての自然数について、k^nを足し合わせた値を表します。n=3の場合、この式を計算すると、

　Σ(k=1 to 7) k^n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 784

　となります。したがって、g(n)は以下のようになります。

　g(n) = 3f(Σ(k=1 to 7) k^n) = 3f(784) = 3 × (784を7で割った余り) = 3 × 5 = 15

　よって、n=3のとき、g(n)の値は15となります。

　はい。序盤で間違えています。振り返ってみましょう。

　＞n=3の場合、f(n)は3を7で割った余りである2になります。

　3を7で余りが2？　明らかに3だよね？　

　＞g(n) = 3f(Σ(k=1 to 7) k^n) = 3f(784) = 3 × (784を7で割った余り) = 3 × 5 = 15

　よって、n=3のとき、g(n)の値は15となります。

　784を7で割った余りが5？　割り切れるよね？　わざとか？　指摘してみます。

　784を7で割った余りは5ではありません

　申し訳ありません、前回の回答に誤りがありました。Σ(k=1 to 7) k^n の値は、nが3の場合、1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3=784となりますが、784を7で割った余りは2となります。

　したがって、n=3の場合、g(n)は以下のようになります。

　g(n) = 3f(Σ(k=1 to 7) k^n) = 3f(784) = 3 × (784を7で割った余り) = 3 × 2 = 6

　よって、n=3のとき、g(n)の値は6となります。お詫び申し上げます。

　どんだけ0点が嫌なんだよ。事実は受け入れろ。

　2でもありません。

　再度、申し訳ありません。前回の回答に誤りがありました。Σ(k=1 to 7) k^n の値は、nが3の場合、1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3=784となりますが、784を7で割った余りは6となります。

　したがって、n=3の場合、g(n)は以下のようになります。

　g(n) = 3f(Σ(k=1 to 7) k^n) = 3f(784) = 3 × (784を7で割った余り) = 3 × 6 = 18

　よって、n=3のとき、g(n)の値は18となります。最初の回答に誤りがあり、お詫び申し上げます。

　もういいよ！　7で割り切れるっつーの！

　784は7で割り切れます。

　おっしゃる通りで、再度誤りがありました。前回の回答に誤りがありましたこと、深くお詫び申し上げます。Σ(k=1 to 7) k^n の値は、nが3の場合、1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3=784となりますが、784は7で割り切れるため、784を7で割った余りは0となります。

　したがって、n=3の場合、g(n)は以下のようになります。

　g(n) = 3f(Σ(k=1 to 7) k^n) = 3f(784) = 3 × (784を7で割った余り) = 3 × 0 = 0

　よって、n=3のとき、g(n)の値は0となります。再度、誤りをお詫び申し上げます。

　784が7で割り切れることを指摘しなかったら、ChatGPTは延々と詫び続けていたでしょう。困ったAIだな。

　では、最後に(1)を証明してみます。もう一度記すと、(1)は「すべての自然数に対して、nの7乗を7で割った余りはnに等しいことを示せ」でしたね。これは「すべての自然数に対して、nの6乗を7で割った余りは1である」と同値です。関係を合同式で表すと

　n（　7）≡n(mod 7)⇔n（　6）≡1(mod 7)

　となります。今回は右の式を証明します。

　自然数を7で割った余りは割りきれる場合(余り0)を含めて7通りあります。つまり、すべての自然数は整数をmとして

　7m、7m±1、7m±2、7m±3（または7m、7m＋1、7m＋2、7m＋3、7m＋4、7m＋5、7m＋6）

　で表すことができます。上の式（7mは省略）を7で割ると

　1（　6）≡(－1)（　6）≡1(mod 7)

　2（　6）≡(－2)（　6）≡64≡1(mod 7)

　3（　6）≡(－3)（　6）≡729≡1(mod 7)

　よって、f(n（　7）)＝f(n)が示せました。