ChatGPTに難関大学の数学入試を解いてもらった

ChatGPTの理解不能な東大入試数学の珍解答

　過去三回の挑戦でChatGPTは一問だけではありますが、難関大の数学入試が解けることがわかりました。実はほかにも数学入試を解かせているのですが、答えが間違っている上に解答が無駄に長いことがよくあります。たとえば東大入試の2005年文系第2問理系第4問。

　3以上9999以下の奇数aで、a（　2）－aが10000で割り切れるものをすべて求めよ

　まず、a^2-a = a(a-1) が10000で割り切れることが条件です。これを満たす奇数aを考えます。

　10000 = 2^4 × 5^4 であるため、a(a-1) は少なくとも 2^4 と 5^4 の両方を因数に持たなければなりません。また、aとa-1の2つの連続した奇数の積であるため、aとa-1のどちらかは 2 または 5 の因数を持たなければなりません。

　従って、a は以下のように書くことができます。

　・a = 2^4 × 5^3 × m (mは奇数)

　・a = 2^3 × 5^4 × n + 1 (nは奇数)

　これらの条件を満たす a を求めていきます。

　・a = 2^4 × 5^3 × m の場合

　a^2-a = a(a-1) = 2^4 × 5^3 × m × (2^4 × 5^3 × m - 1)

　10000で割り切れるため、m(2^4 × 5^3 × m - 1)が10000で割り切れます。

　よって、mは 2^4 × 5 の約数である必要があります。

　m = 1 の場合、a = 2^4 × 5^3 = 2000

　m = 5 の場合、a = 2^4 × 5^4 × 5 = 10000

　これ以外の場合は、mが奇数であるため、2 または 5 を因数に持たないため、a(a-1)は2^4 × 5^4を因数に持たないため、10000で割り切れないことがわかります。

　・a = 2^3 × 5^4 × n + 1 の場合

　a^2-a = a(a-1) = (2^3 × 5^4 × n + 1) × (2^3 × 5^4 × n)

　10000で割り切れるため、n(n+1)が2^2 × 5^2で割り切れます。

　よって、nは 5の倍数でなければなりません。

　n = 5 の場合、a = 2^3 × 5^4 × 5 + 1 = 40001

　n > 5 の場合、a(a-1)は2^3 × 5^3を因数に持たないため、10000で割り切れないことがわかります。

　以上より、求める奇数aは、a = 2000, 40001 の2つです。

　数学が苦手な方でも最後の文がおかしいのはわかるはずです。2000が奇数？　奇数の定義を忘れたのか？　しかもaは3以上9999以下と書いているのになぜ40001？

　a^2-aをa(a-1)に因数分解したのと、a(a-1)が2^4と5^4を因数に持つところまではよかったのですが、その先の解答は正直僕には理解不能でした。ちなみに答えは625です。

　また、円周率が3.05より大きいことを証明する問題。ヒントありなら解けるかもと思い、問題文にヒントを付け加えました。

　半径1の円に内接する正八角形の周の長さを求め、円周率が3.05より大きくなることを証明してください

　正八角形は、中心を通る8本の半径によって対称に分割されます。各頂点を中心とする扇形は45度の中心角を持ちます。従って、正八角形の周の長さは、8つの扇形の周の長さの和に等しくなります。

　扇形の周の長さは、その中心角の部分が全体の何割を占めるかによって求められます。中心角が45度であるため、扇形の周の長さは、円周の 1/8 倍になります。

　したがって、正八角形の周の長さは、以下のように求めることができます。

　正八角形の周の長さ = 8 × (円周の 1/8) = 円周

　半径が1の円の円周は、2π × 1 = 2πです。従って、正八角形の周の長さも2πとなります。

　次に、円周率が3.05より大きいことを証明します。まず、円周率は、半径が1の円の円周の長さに対する直径の長さの比率であることが知られています。つまり、

　円周率 = (半径が1の円の円周の長さ) ÷ (半径が1の円の直径の長さ)

　半径が1の円の直径の長さは2です。したがって、円周率は以下のように表すことができます。

　円周率 = (2π) ÷ 2 = π

　ここで、3.05より大きいことを証明するために、次の不等式を考えます。

　3.05 < π

　両辺に2を掛けると、

　6.1 < 2π

　したがって、円周率は3.05より大きいことが証明されました。

　期待の裏切り方が半端じゃない。もはや証明ですらないしノーヒントのときの解答より酷くなっている。間違った解答をここまで長々と書けるのはある意味すごいな。

　GPT-4ならまだマシな答えが返ってくると思いますが、有料なので試すのはもう少し後になりそうです。