私的数学日誌

46日目「等差数列は望遠鏡を覗き込め」

等差数列を次の様に定義する。

1,3,5,7,9......の様に隣り合う数の差が等しい数列のことを等差数列と呼ぶ。

また、1,3,5,7,9......だと1がそうであるように、一番初めにくる数のことを初項と言って、となり合う項の差を公差という。初項はaで表されることが多く、公差をdが割り当てられることが多い（differenceからだと思う）

わかりやすいように、n項目を表すために関数の様にa(n)という記号を割り当てよう。上で定義された等差数列をa(n)という記号を用いて表してみると

a(n+1)=a(n)+d, a(1)=a（この場合だと、dは公差、aは初項）

という様にすっきりと表せる。

a(n+1)=a(n)+d, a(1)=aの様な数列の値をドミノ倒しの様に次々と定義していく式（a(n+1)=a(n)+d, a(1)=aと言われれば、n=2のときもn=3の時も、もう既に定まっている）のことを漸化式と呼ぶ。漸は"だんだんと"という意味があるので、数列を徐々に定義していく式という意味で付けられた名前だと推測される。

公差数列の式を変形すると、a(n+1)-a(n)=dとなる。この式を使って色々遊んでみよう。nをずらしても差が一定であることがわかるので、a(n+2)-a(n+1)=d=a(n+1)-a(n)が成り立つ。a(n+2)-a(n+1)=a(n+1)-a(n)より、a(n+2)+a(n)=2a(n+1)。

a(n+1)={a(n+2)+a(n)}/2 であるので、次の様な結果が成り立つことがわかった。

中項の求め方

等差数列では、真ん中の項を求めるためには、その両隣の項の算術平均（通常の意味での平均）を求めれば良い。

さて、現段階ではa(4)を求めるためには漸化式にえっさほいさと値を代入しなければならない。a(4)をもっと一瞬で求められる式を打ち立てたい。

この様に、a(n)を漸化式ではない、a(n)が入っていないnのみの式で表すことを一般項を求めるという。

例えば、a(n+1)=a(n)+2, a(1)=1で表されるa(n)の一般項を求めると、a(n)=2(n-1)+1=2n-1と表せる。実際漸化式を用いてa(3)を求めてみると、a(1)=1より、a(2)=a(1)+2=3、a(3)=a(2)+2=5であり、一般項の方を用いてみると、a(3)=2・2+1=5となり、漸化式で求めたものと一致する。

一般的に、一般項を求めるのは非常に厳しいことが多いが、等差数列であれば簡単に一般項を求めることができる。

等差数列の一般項

公差d、初項aの等差数列の一般項はa(n)=a+d(n-1)である。

[証明]

a(k+1)-a(k)=dであり、k=1→n-1まで足し上げれば、a(n)-a(1)=d(n-1)

定義より、a(1)=a。よって、移項してa(n)=a+d(n-1)

さて、この証明を深掘りしていこう。今回の証明では、次の関係式が重要だった。

補題

Σ(k=1→n-1) a(k+1)-a(k)=a(n)-a(1)（n≧2）

実際、左辺ではa(1)とa(n)以外の項はどんどんと打ち消されていく。

この補題の左辺の式のことを望遠鏡和という。

今回の話では、さらに次のことが成り立っていた。

a(k+1)-a(k)=d

つまり、a(n)-a(1)が実際に簡単に計算することができたのである。

この考え方を生かして次の様な数列の一般項を求めることができる。

a(n+1)=a(n)+n, a(1)=1

この数列の一般項を求めてみよう。

a(k+1)-a(k)=kであり、k=1→n-1まで和を取ると、望遠鏡和が左辺に現れる。

Σ(k=1→n-1) a(k+1)-a(k)=Σ(k=1→n-1) k=n(n-1)/2（n≧2）

左辺は補題からa(n)-a(1)となり、a(n)-a(1)=n(n-1)/2（n≧2）が成り立ち、a(1)=1であることを反映させれば、a(n)=1+ n(n-1)/2=(n^2 -n +2)/2（n≧2）が成り立つ。

a(n)=(n^2 -n +2)/2　がn=1の時も成り立つことを示そう。a(1)=1=2/2より、

a(n)=(n^2 -n +2)/2（n≧1）が成り立つ。

a(n)の一般項は(n^2 -n +2)/2

このように、多項式分のずれ程度であれば望遠鏡和を用いて一般項を求めることができるということがわかった。