あらすじの
自営業を営んでいる美容院、
自営と営む、同じ意味です
さらにこの書き方だと、美容院が自営業している、という訳のわからない説明文になっていると思いますがいかがでしょうか？
父親が個人経営している美容院で働いている
ならばわかるのですが…