巨大数で遊ぼう！

みくみく順序数 Act.1.0

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　■　みくみく標準形で使う記号の定義　■

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　a　：１以上の整数

　A　：１以上の整数 or ᶜ...(Ø)a

　C　：ᶜ...(Ø)

　B　：0 or A or C

　…0　：０個以上の項に0

　…B　：０個以上の項にB

　【□⟼（ƒ）Ｍ】　：「□」の文字列が、「みくみく標準形の計算規則」によって、十進法表記による非負整数を構成する記号、「0」と「1」と「2」と「3」と「4」と「5」と「6」と「7」と「8」と「9」と、コア数の土台となる記号、「(」と「)」と「,」の、合計、十三種類のみの記号で構成される文字列「Ｍ」に写される。その「Ｍ」の文字列。この「□」の像である「Ｍ」は、必ず「□」よりも小さい。この「Ｍ」は「n」を定数としたとき以下の条件を全て満たす。

　・条件 ❶　「Ｍ」は「□」よりも小さい。

　・条件 ❷　「Ｍ」は「□」から写像を１回以上繰り返した像の中で最も大きい。

　ƒ [□ ; n]　：「□」について急増加関数「𝑭 m {n}」の「n」を参照して「みくみく標準形の計算規則」を適用する。

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　■　みくみく標準形の計算規則　■

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　みくみく標準形は、十進法表記による非負整数を構成する記号、「0」と「1」と「2」と「3」と「4」と「5」と「6」と「7」と「8」と「9」と、コア数の土台となる記号、「(」と「)」と「,」の、合計、十三種類のみの記号で構成される「みくみく順序数」の表記である。みくみく標準形の計算規則を以下に定める。計算規則は、❶記号の変換、❷計算の順序、❸加算の定義、❹写像「ƒ」とそれに伴う写像「𝐒𝐮𝐦」「𝐍𝐞𝐬𝐭」「𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭」の定義からなる。

　❶記号の変換

　　01:　ƒ [ο₀ ; n] = ƒ {ο₀ }

　　02:　ƒ [ C ; n] = ƒ {ᶜ...(Ø)}

　❷計算の順序

　　01:　ƒ {ᶜ...(Ø)} = ᶜ... ƒ (Ø)

　　02:　ᶜ... ƒ (Ø) = ᶜ... + { ƒ (Ø) }

　　03:　ᶜ... + { ƒ (Ø) } = ᶜ... +【(Ø)⟼（ƒ）Ｍ】

　　04:　ᶜ... +【(Ø)⟼（ƒ）Ｍ】= ᶜ... Ｍ

　❸加算の定義

　　01:　a + {ᶜ...(Ø)} = ᶜ...(Ø)

　　02:　a + {ᶜ...(Ø)a} = ᶜ...(Ø)a

　　03:　{ᶜ...(Ø)} + 0 = ᶜ...(Ø)0

　　04:　ᶜ...(Ø)0 〓 ᶜ...(Ø)

　　05:　{ᶜ...(Ø)} + a = ᶜ...(Ø)a

　　06:　{ᶜ...(Ø)a} + 0 = ᶜ...(Ø){a + 0}

　　07:　{ᶜ...(Ø)a} + a = ᶜ...(Ø){a + a}

　　08:　{ᶜ...(Ø)} + {ᶜ...(Ǿ)} = ᶜ...(Ø) ᶜ...(Ǿ)

　　09:　{ᶜ...(Ø)} + {ᶜ...(Ǿ)a} = ᶜ...(Ø) ᶜ...(Ǿ)a

　　10:　{ᶜ...(Ø)a} + {ᶜ...(Ǿ)} = ᶜ...(Ø) ᶜ...(Ǿ)

　　11:　{ᶜ...(Ø)a} + {ᶜ...(Ǿ)a} = ᶜ...(Ø) ᶜ...(Ǿ)a

　❸写像の定義

　　01:　ƒ (0) = n

　　02:　ƒ (a) = 𝐒𝐮𝐦[n]

　　　々:　ᶜ... 𝐒𝐮𝐦[0] = ᶜ... 0

　　　々:　ᶜ... 𝐒𝐮𝐦[𝑒] = ᶜ...(a-1)𝐒𝐮𝐦[𝑒-1]

　　03:　ƒ (0,0) =(n)

　　04:　ƒ (0,0,0,…0) = (𝐍𝐞𝐬𝐭[n],0,…0)

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = 0

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],0,…0)

　　05:　ƒ (…B,C,0,…0) = (…B, ƒ [C ; n],0,…0)

　　06:　ƒ (…B,A,0,…0) = (…B,A-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],…0)

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = 0

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (…B,A-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],0,…0)

　　07:　ƒ (…B,B,C) = (…B,B, ƒ [C ; n])

　　08:　ƒ (…B,B,A) = 𝐒𝐮𝐦[n]

　　　々:　ᶜ... 𝐒𝐮𝐦[0] = ᶜ... 0

　　　々:　ᶜ... 𝐒𝐮𝐦[𝑒] = ᶜ... (…B,B,A-1)𝐒𝐮𝐦[𝑒-1]

　　09:　ƒ {ο₀ } = (𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n])

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = 0

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1],0

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　■　急増加関数　■

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　𝑭 m {n}　：急増加関数

　m　：「みくみく順序数」として許容される任意の文字列。

　a　：１以上の整数

　ⁿ　：「n」

　C　：「ᶜ...(Ø)」

　ƒ [□ ; n]　：「□」について急増加関数「𝑭 m {n}」の「n」を参照して「みくみく標準形の計算規則」を適用する。

　としたとき、急増加関数「𝑭」の計算規則および、それに伴う写像「𝐍𝐞𝐬𝐭」を以下に定める。

　　01:　𝑭 0 {n} = n+1

　　02:　𝑭 a {n} = 𝑭ⁿ a-1{n}

　　03:　𝑭 ᶜ...(Ø)a {n} = 𝑭ⁿ {ᶜ...(Ø)a}-1{n}

　　04:　𝑭ʰ m {n} = 𝐍𝐞𝐬𝐭[ʰ]

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = n

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = 𝑭 m {𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1]}

　　05:　𝑭 C {n} = 𝑭 ƒ [ C ; n] {n}

　　06:　𝑭 ο₀ {n} = 𝑭 ƒ [ο₀ ; n] {n}

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　■　 みくみく数 Vol.6　 ■

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　■みくみく数 Vol.6（Miku Miku Ordinal Act.1.0 Ver）

　𝑭³⁹ ο₀ {39}

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　■　標準形　■

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　■項の状態の制限

　標準形の定義❶　コア数には必ず１個以上の項が存在する。

　標準形の定義❷　項が１個のとき、項の状態は以下の二つのどちらかである。

　　・　0

　　・　1以上の整数

　標準形の定義❸　項が２個以上のとき、項の状態は以下の四つのいづれかである。

　　・　0

　　・　1以上の整数

　　・　ᶜ...(Ø)

　　・　ᶜ...(Ø)a　{a∠{a ≧１}}

　■文字列の制限

　標準形の定義❹　如何なるコア数も、一組のみの「(」と「)」と、１個以上の「項」から成り、となり合う「項」と「項」はひとつの「,」で区切られる。

　標準形の定義❺　如何なる加算の関係にもない「コア数」の項の状態を、「0」と「1」と「2」と「3」と「4」と「5」と「6」と「7」と「8」と「9」の記号を使った十進法表記による非負整数に限定したとき、これを「原始コア数」と呼ぶことにする。その「原始コア数」の項の、その十進法表記による非負整数を「□」と置けば、次の如何なる文字列も、「原始コア数」には存在しない。

　「 ,, 」

　「 (, 」

　「 ,) 」

　「 ,( 」

　「 ), 」

　「 )) 」

　「 (( 」

　「 () 」

　「 )( 」

　「 □( 」

　「 )□ 」

　■加算に関する制限

　「ｅ個の加算の関係にあるコア数」を「…(Ø)」 としたとき、そのコア数に１以上の整数の加算の順序を示す番号「ₑ」をふる写像「ƒ」を以下に定義する。

　01:　…(Ø) = ƒ[𝑒]

　　々:　ƒ[1] = (Ø)₁

　　々:　ƒ[𝑒] = (Ø)ₑ ƒ[𝑒-1]　{𝑒∠{𝑒 ≧２}}

　この「ƒの像」となる文字列の「Ø」は同値でなくてもよい。あくまで、任意の加算の関係にあるコア数に、加算の順序を示す番号を割り振るものである。

　標準形の定義❻　如何なる「加算の関係にあるコア数」についも、任意のコア数「𝓒」に対して、「𝓒」よりも大きなコア数は、「𝓒」に割り振られる「加算の順序を示す番号」よりも小さな「加算の順序を示す番号」が割りふられるコア数には存在しない。

　■コア数の構造に関する制限

　コア数の構造を分解する写像「ƒ」を以下に定める。

　(Ć)　：コア数の構造にコア数のあるコア数

　₀c...　：０個以上の(Ø)の加算がある。ただし、コア数の構造にコア数はない。

　₁c...　：０個以上の(Ø)の加算がある。

　…0　：０個以上の項に「0」

　A　：１以上の整数

　A　：１以上の整数 or 「ᶜ...(Ø)a」

　C　：「ᶜ...(Ø)」

　…B　：０個以上の項に「0」 or「A」or「C」

　[A⟼（𝐏𝐫𝐢𝐦）C]　：「A⟼（𝐏𝐫𝐢𝐦）C」のC

　[C⟼（𝐃𝐢𝐬𝐚）0]　：「C⟼（𝐃𝐢𝐬𝐚）0」の0

　01:　ƒ{₁c...(Ć)₀c...} = ₁c...ƒ{(Ć)₀c...}

　02:　ƒ(…B,A,…0)₀c... = (…B,[A⟼（𝐏𝐫𝐢𝐦）C],…0)₀c...

　　々:　a ⟼（𝐏𝐫𝐢𝐦） 0

　　々:　₁ᶜ...(Ø)a ⟼（𝐏𝐫𝐢𝐦）₁ᶜ...(Ø)

　03:　ƒ(…B,C,…0)₀c... = (…B,[C⟼（𝐃𝐢𝐬𝐚）0],…0)₀c... C

　　々:　₁ᶜ...(Ø) ⟼（𝐃𝐢𝐬𝐚）0

　標準形の定義❼　任意のコア数「𝓒」に、コア数の構造を分解する写像「ƒ」を適用し、加算の関係にある如何なるコア数の構造にもコア数がない状態となったとき、「 (Ø)₁」よりも大きなコア数はその加算の関係に存在しない。ただし、任意のコア数「𝓒」と加算の関係にあるコア数は０個とする。