科学コラム

φの中の永遠

世の中には奇妙な計算式というのがあって、ルート（√）という平方根の中に√を囲い込んでしまう、ということができる。

「１＋√１」の平方根は「√（１＋√１）」ってわけ。

√１＋√１って横並びの話じゃないよ。

√の軒下に√がおさまってるの。

これを延々と繰り返すこともできる。

√の軒下におさまった１＋√１のさらにその軒下に、＋√１をおさめる、ってわけ。

言葉で説明すれば、１＋√１という平方根の平方根、の平方根を求めよ、となる。

これを永遠に繰り返す。

この解が、なんと１.６１８・・・という、どこかで聞いたことがある数字になるのだ。

この計算は、実は中学生にもできるものなので、やってみてもいい。

x＝全体式とし、両辺を二乗したのち、右辺をxに還元するだけで、「x２＝x＋1」が導き出せるのだ。

これは、前回に計算してもらったφ（ファイ）の計算式ではないの。

お、キョトンとしてる・・・？

もういっこ、いい？

１＋１／１、という分数の分母に、これまた小さな分数を組み込むことができる。

読み上げれば、１足す１分の１足す１分の１・・・となる。

分母の下へ下へと、さらなる分母を組み込んで、積み木細工にしていくわけ。

その連分数を、無限に積み上げてみる。

つまり、１足す１分の１足す１分の１足す１分の１足す１分の１足す１分の１＋・・・だ。

この数式も、中学生の数学力で解ける。

x＝全体式とすると、右辺の分母はxそのものなので、x＝１＋１／ xとなる。

両辺にxを掛ければ、「x２＝x＋1」だ。

x＝１.６１８・・・

またφが現れた。

きみはいったい何者なんだい〜？