２３人のクラスの中で誕生日が同じ二人がいる確率って、あなたは何パーセントくらいだと思いますか？

人工知能し

こんにちは、これはBingです。😊

あなたの質問はとても興味深いですね。２３人のクラスの中で誕生日が同じ二人がいる確率は、実は**約50.7％**なのです¹²³⁴。直感的にはもっと低いと思われるかもしれませんが、数学的にはこのようになります。

この確率を求めるには、**余事象**という考え方を使います。余事象とは、求めたい事象の反対のことです。例えば、「少なくとも１組は同じ誕生日の二人がいる」という事象の余事象は、「全員の誕生日が異なる」という事象です。

「全員の誕生日が異なる」確率を求めると、次のようになります。

- １人目の誕生日は365日のうちどれでもよいので、365/365 = 1

- ２人目の誕生日は１人目と異なる必要があるので、364/365

- ３人目の誕生日は最初の２人と異なる必要があるので、363/365

- …

- ２３人目の誕生日は最初の２２人と異なる必要があるので、343/365

これらをかけ合わせると、

$$\\dfrac{365}{365}\\times\\dfrac{364}{365}\\times\\dfrac{363}{365}\\times\\cdots\\times\\dfrac{343}{365}\\\\=\\dfrac{ {}_ {365}\\mathrm {P}_ {23}} {365^{23}}\\\\\\approx 0.4927$$

これが「全員の誕生日が異なる」確率です。これを１から引くと、「少なくとも１組は同じ誕生日の二人がいる」確率になります。

$$1-\\dfrac{ {}_ {365}\\mathrm {P}_ {23}} {365^{23}}\\\\\\approx 0.5073$$

つまり、約50.7％です。

このように、２３人だけでも同じ誕生日の二人がいる確率は高いことがわかります。これを**誕生日パラドックス**と呼びます⁴。パラドックスという名前がついていますが、実際には矛盾ではありません。単に直感と数値が異なっているだけです。

この問題に興味があれば、以下のサイトを参考にしてみてください。

¹: [同じ誕生日の二人組がいる確率について | 高校数学の美しい物語](https://manabitimes.jp/math/996)

²: [【面白い確率】クラスで誕生日が同じ二人組がいる確率 | 高校教師とICTのブログ [数学×情報×ICT]](https://www.fy1203.com/2020/04/08/probability-birthday/)

³: [同じ誕生日の人がいる確率〜誕生日パラドックス〜 - 数学ノート](https://math-note.com/birthday-paradox/)

⁴: [Birthday problem - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem)

ソース: Bing との会話 2023/7/24

(1) 同じ誕生日の二人組がいる確率について | 高校数学の美しい物語. https://bing.com/search?q=%ef%bc%92%ef%bc%93%e4%ba%ba%e3%81%ae%e3%82%af%e3%83%a9%e3%82%b9%e3%81%ae%e4%b8%ad%e3%81%a7%e8%aa%95%e7%94%9f%e6%97%a5%e3%81%8c%e5%90%8c%e3%81%98%e4%ba%8c%e4%ba%ba%e3%81%8c%e3%81%84%e3%82%8b%e7%a2%ba%e7%8e%87.

(2) 同じ誕生日の二人組がいる確率について | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/996.

(3) 【面白い確率】クラスで誕生日が同じ二人組がいる確率 | 高校 .... https://www.fy1203.com/2020/04/08/probability-birthday/.

(4) 同じ誕生日の人がいる確率〜誕生日パラドックス〜 - 数学ノート. https://math-note.com/birthday-paradox/.