理科で夢見るこの世の魔法

準備 ディラックの海に向けて

波が粒子で粒子が波で、の量子力学の入門を超えると、いよいよ相対論的量子力学へと漕ぎ出してゆくこととなる。

といっても小難しい話は置いといて、量子もつれや反物質といった、現代SFにはたまらないテーマを扱って行ければ、と考えている。

そういった内容に深くかかわってくるのが、「ディラックの海」と呼ばれる概念である。詳細は後の章で扱うことにして、ここでは、「ディラックの海」を理解するうえで手助けとなる、理数的な認識をちょっぴり整理させていただきたい。

ちょ、待って、石を投げないで。難解な公式を紐解こうってわけではありませんから。

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興味のない方はいつも通り読み飛ばしていただきたい。

中学時代を思い出していただきたいのだが、なぜ、

マイナス×マイナス＝プラス

になるのか、ということに悩まれた経験はないだろうか。

『不足』×『不足』＝『充足』という、小学算数と中学数学の間を、量子数のごとく不連続に断絶しているトリック（？）を通して、そも「マイナス」とは何なのか、ということを見ていこう。

「マイナス」、というと、どのようなイメージを思い浮かべるだろうか。

借金？　負債？　赤字？　ちょっとご遠慮願いたいものばかりだなー。

上にあげたのは金銭的なものばかりだが、おおむね、「マイナス」は「不足」を意味する数字として、我々の前に現れる。

結論を言うと、数学や物理における「マイナス」は

『逆』『反転』『反対』

を意味している。充足の反対が不足であるように、山の反対が谷であるように。

だから、プラスとマイナスを合わせると、打ち消しあって０になってしまう。

このあたりが反（・）物質の反にかかわってくる部分となる。

次は物理的というより算数的な話になるので、この辺でおなか一杯という方はここまでで大丈夫です。

知ってる人からすれば、「結局（－１）×（－１）＝１をダラダラ話してただけじゃねーかこのペテン師め！」になるかもしれません。

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さて、本題は、

マイナス×マイナス＝プラス

はなんで？　ということだった。

まあ反転するからプラスになるんじゃね？　と言ってしまえばそれまでだが、「マイナス」を「かける」ことのどの辺に反転が出てくるんだろう。

答えは掛け算を分解すると出てくる。

具体例から、そこで何が起きているか考えていこう。

例えば、

２×４＝８

２×（－４）＝－８

である。上は単純だ。２が４個あるから、

０＋２＋２＋２＋２＝８

となる。２メートルの山を４つ合わせたら、８メートルの山になった。そういう感じ。

一方下はどうだろう。２がマイナス４個あるってなんやねん。

ここで少し論理が飛んでいくが、要は不足を４倍（・・・・・）すればいいのだ。

どういうことかっていうと、２を４個引けばいい（・・・・・・・）のである。

０－２－２－２－２＝－８

「マイナス」を「不足」とみなして掛け算を分解してみたが、２×４の時と反転（・・）していることにお気づきだろうか。

「マイナス」を「かける」というのは、その数だけ引き算する（・・・・・・・・・・）ということになるのだ。

この調子で進めていこう。では、

（－２）×４＝－８

（－２）×（－４）＝８

はどうなるだろう。

上はさっきと同じように、

０＋（－２）＋（－２）＋（－２）＋（－２）＝－８

に分解できる。

……－２メートルの谷を４つ合わせたら、－８メートルの谷ができる、といったところか。

下も同じようにやってみよう。

０－（－２）－（－２）－（－２）－（－２）＝８？

ああ、「マイナス」を「引く」とはなんぞや。

なんとなくプラスになるんじゃないかー、って気がしなくもない。そこらへん、もう少し掘り下げてみよう。

大事なのは「引く（－）」という演算子が何を意味しているか、ということである。

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演算子というのは、４＋３の「＋」や、５－２の「－」など、いわゆる「＋、－、×、÷」のことである。「何かの操作を実行せよ」ということを表す記号だ。

たとえば「＋」なら、「左にある数字に、右の数字を足せ」という操作を表している。

SFバトルもの的には、「○○演算子を適用」みたいな能力者が出てきて、相手の能力に干渉するといった設定が作れそうである。

数学や物理では、上にあげた４つのほかにも、微分演算子やらなんやらいっぱい出てくる。

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我々は日々、何気なく引き算を処理している。１０００円の手持ちから３００円の出費があれば７００円が残る、といった具合に。

だから演算子「－」の意味をあまり気に留めたことはないかもしれない。

アレ、数学的には、「反転させて足せ」ということを指示しているのだ。

ゆえ、

１０００－３００

というのは、

１０００＋（－３００）

に書き換えられる。

３００円の借金を足したら、残りは７００円になるという寸法だ。

話を戻すと、

０－（－２）－（－２）－（－２）－（－２）

も、「反転させて足す」というルールに従って書き換えると、（－２）は（＋２）に反転して、

０＋（＋２）＋（＋２）＋（＋２）＋（＋２）＝８

になってしまう。

余談だが、「－」の演算子を使える能力者がいたら、あっという間に形勢逆転できそうである。使いどころは難しいけれど。

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もちろんこれ以上に論理的な説明もあるだろうが、とりあえず、

マイナス×マイナス＝プラス

のお話はこんな具合になる。我ながら「これは堂々巡りだなあ」という気分になってしまって申し訳ないのだが、皆様は納得いっただろうか。

次回こそは、引き伸ばしている量子力学について、皆様にご紹介できたらと思っている。よろしければお付き合いください。