名階一子の数学授業

置換微分（正式には「合成関数」）・置換積分

「突然だが、『ｄｘ』や『ｄｔ』の『ｄ』ってなんだかわかるか？」

「『微分』ってことですか…？」

「いや、これは『微小区間』という意味だ。物理で出てこなかったか？

　データをとってグラフにして、基本原則を見つけ出そうと思ったら、『差』が大事だ。

　『Δｘ（デルタエックス）』なら、ｘの変化した分。

　例えばｘが1時間たったらΔｘ＝１時間ということになる。

　でも『ｄｘ』なら、ｘがほんのちょっとだけ変化した、ということだ。「微小」だ。

　この「ほんのちょっと」を足し合わせるのが積分で、

「ほんのちょっと」だけにするのが微分だ。

　だから微分にも積分にもどちらにもこの「ｄｘ」がついている。

　微分なら割るから分母に、積分ならかけるから横にくっついてる。

　ちなみに変数がｔなら「ｄｔ」

　変数がｙなら「ｄｙ」

　変数がｐなら「ｄｐ」…ってもういいな。」

「はい。もういいです。」

「これの便利なところは、このまま足し算や掛け算や割り算や分母分子で打ち消す、といった計算ができるところだ。

　それが「置換」だー！」

「はあ。」

「ｄf(ｘ)/dx

これが『f（x）をｘで微分』ほんのちょっとのｆ(x)をほんのちょっとのｘで割るからな。

逆に∫ｆ(x)dxだと、『f（x）をｘで積分』という意味になる。

不思議なことに、どっちにしても、変数を変える、つまりｄｘをｄｔに直したりするときには、微分を掛けることになる。

ただし微分の場合はもともとなにもないところに微分を掛けるが、

積分の場合は、もともと微分がかけられているときだけ、変数変換できる。

なければ微分を割って、むりに微分を出す。

数字ならまだいいが、3次や4次の関数、あるいはcosやsinを変数にしたいときは、もとから式の中に微分が入っていないか真剣に探すことになる。

ではｆ(x)をｆ(t)に直して、ｄｘ→ｄｔにしたいときは？

例えばｆ(x)=(5x-1)５

５乗をいちいち計算してから微分したり積分したりするのは現実的じゃない。

もっと楽なのは、ｔ＝５ｘ－１と置き換えることだ。そしたらｔ５の積分もしくは微分で、これなら楽だ。積分なら1/６ｔ６　微分なら５ｔ４。

ただしルールがある。このときは微分でも積分でも、「微小の単位を変えるなら微分を掛けること」というルールだ。

ｔ＝５ｘ－１をｘで微分したら、５

具体的な答えは、　微分なら５ｔ４×５　積分なら1/６ｔ６×1/５

これはどうするかといえば、

両辺を微分。両辺をともに微分した場合、変わらないから。

ｄｔ＝（5x-1）′dx

ｄｔ＝５ｄｘ

微分すると、定数や、ｘでない変数はすべて無視してOKだから、そぎ落とされてかなり簡単になる。微分は断捨離のようなものだな。

これを微分の時には、ほしいのは割ったdxだから　ｄｔ/ｄｘ＝５と変形して使い、

積分の時には、ほしいのは掛けたｄｘだから　ｄｘ＝１/５ｄｔと変形して使う。

これを式で書くと、

微分はｄf(ｘ)/dｔ　×　ｄｔ/ｄｘ

上下打ち消して結果はｄｆ(x)/dx

積分は∫―ｄｔ　×　dx/dt

つまりこちらは微分をひっくり返したものを掛けることになるから、

もとから微分をそろえておく必要がある、ということになる。

つまり式の中でもとから微分があれば打ち消しあってなしになるし、

それがなければ微分の逆数を掛けることになる。

途中増やしたかもしれないが、何も間違っていない、ということがこれでわかる。

日本語で言うなら「f(x)をｔで微分したもの」×「ｔをｘで微分したもの」ということになる。

つまり微分の時は何も考えずに微分を掛ければいいし、

積分の時は微分になっている形がないか鵜の目鷹の目で探す、そうしたら割らずに済むから、ということになる。」

「置換積分でこの割り算見たことあります。こういう意味だったんですねええ。」

「そうだ。」