質問ありがとうございます！

この「私」は、タイトルがヒントになっています。
このお話は、始めのほうは三人称で語られているように見えますが、実はタイトルの『私は宝物』で語り手の自己紹介がされているのです。
この「宝物」は、「彼」が腕に抱いたもの、すなわち彼の子どもを指しています。
というわけで、「できるかぎりの笑顔で私は出迎えるのだ。」の「私」は彼の娘なのです！

いかがでしょうか？
またわかりづらいところがあれば、どしどしご意見ください！