最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。

グレブナー基底の猫

本日のラテアート「グレブナー基底」

タイムラインをぼーとスクロールしていると、そんな画像が流れてきた。

俺は反射的にいいね！とリツイートを押す。

直後、自分のフォロワー数がまた１減り、また一人にリムられたことを確認した。

俺は指を止めず、今度はフォローの中から「厳選！ぬこ画像」のアカウントに選び、厳選された猫画像を片っ端からリツイートしまくる。

そんな努力むなしく、気分は一向に晴れなかった。

「完了。思考は終了した。」

目の前の南條が、コーンスープのスプーンを置いた。

夜のファミレスの店内には、知らないアイドルの最新シングルが流れている。

「推察。導来 圏は、いわゆる『宣戦布告』をしたのではなかろうか。」

南條は、水の入ったコップを、手の平に水平に載っけながら言う。

毎度こぼれないかヒヤヒヤするが、今はそれどころではない。

「宣戦布告って、戦争じゃあるまいし、何の意味があるんだよ。」

「推測。我々を、彼のフィールドに引きずり込むためだろう。」

あの時、と言ってもほんの数時間前の、今日の夕方のことだが、喫茶店で四色問題で遊んでいた俺と妹に、導来 圏が襲来した。

導来 圏は、妹に、首輪をはめ、鎖で拘束した。

いや、正確には、拘束しなかった。

***

「ホレ。首輪のカギだ。受け取れよ。」

導来 圏 はそう言って、鍵をテーブルに投げた。

「ケッ。今から一週間後、とある場所で、とあるイベントを開催する。今日は、その招待状を渡しに来ただけだ。」

確かによく見ると、テーブルの猫の下に、白い手紙のようなものが差し込んであった。

俺は、猫に引っ掻かれないように、慎重に手紙を取り出す。

手紙を開くと、詳しい場所と日時が書いてあった。

「ふざけんな。」

俺は、反射的にそうつぶやいた。

「あ？」

「誰がこんな子どもの遊びに付き合うっていうんだ。お前は、俺の妹に用があるみたいだが、そんなの俺が許さない。これ以上、環奈に関わらないでくれ。」

俺は、なるべく強い口調で、はっきりと言った。

これで、黙るかと思ったが、導来 圏の反応は予想外のものだった。

「カッ！カッ！とんだシスコン野郎だな。まあ、来るか来ないかはお前ら次第だ。ただ、結論から言うと、お前らは来ざるを得なくなる。」

導来 圏はそう残して、喫茶店を去った。

***

妹は、疲れて家でぐっすりと寝ている。

俺は、どうにも導来 圏の言葉が頭に残って、南條に近くのファミレスまで来てもらったのだ。

「だいたい、導来 圏ってのはどんなやつなんだ？数戟で戦ったことあるんだろ？」

「端的。端的にいうと、彼は、『頭脳は大人。心は子ども。』だ。数学的な能力はすごく高いが、倫理観や道徳観などが欠如している。」

どこぞの名探偵かよ。

「でも、所詮は子どもってことだろ？大したことなんてできないだろ？」

「否々。今の彼は、東数の会長。巨大な権力を手にしている。『過激な発言をする危険人物が、核兵器のボタンを握っている』と考えれば、その恐ろしさは容易に想像できるだろう。」

なるほど。確かに怖い。

「対策。一番の対策は、接触をしないこと、だ。そのイベントとやらに行く必要もないし、かと言って泣き寝入りすることもない。君の妹の身に危険が生じる可能性があったら、迷わず警察に通報しよう。権力には権力、だ。そして、普段は、私と君で妹の安全は守ろう。」

心強い。

こういうとき、南條はとても頼りになる。

だが、何か見落としているような感覚が、心の奥に引っかかる。

人生とは数奇なもので、たった一つの選択が、後々大きく運命を左右することになる。慎重に行動したいものだ。

「疑問。一点、気になる点がある。」

おお。やはり南條も感じていたか。

さすがは、俺たちのブレインだ。

「お！なんなんだ！？」

「有限体。」

「ん？」

「有限体でもいいのではないか？」

一気に話が見えなくなった。

「四色問題。君は、四色塗り分け可能かを判定するときに、複素数体上で考えていたが、有限体上でも同様に、判定できるだろう。」

「？？？」

「即ち。x^4 -1 を例えば、位数 5 の 有限体 F_5 上の多項式として考えるんだ。F_5={0,1,2,3,4}の元で、x^4-1=0 を満たすのは、フェルマーの小定理から、1,2,3,4。つまり、ちょうど、４つの異なる元が多項式の根になっている。」

「ちょ、ちょっと待て、いつから数学の話になったんだ？？」

「当惑。だから、一点、気になる点があると言っただろう。」

いつも数学をやっているという奴は、このように突然数学の話に切り替わる。

というか数学の方が日常なのだ。

そのうち、秩父山を登りながら数学とか本気でやりかねない。

「続行。話を続けよう。東京と千葉を塗り分ける連立方程式」

x^4-1=0

y^4-1=0

(x+y)(x^2+y^2)=0

「を考えるとき、君たちは、これを『複素数体上での連立方程式』とみなしていた。」

「ああ。実際、x^4-1 を満たす x ってのは、1、-1、i、-i で、複素数だったからな。」

「然し。これは、必ずしも複素数で考える必要はない。もっと小さな体でも十分だ。」

ここで、体（たい）とは、体（からだ）でも体（こころ）でもなく、四則演算、つまり足し算・引き算・掛け算・割り算ができる代数的集合のことである。

「それがさっき言った、F_5={0,1,2,3,4} ってことか？」

「適当。」

「これって、整数を５で割ったときの余り集合と同じだろ？だから、1^4=1だし、2^4=16≡1 (mod 5) だし、3^4=81≡1 (mod 5)だし、4^4=256≡1 (mod 5) だし、つまりどれも、４乗して５で割ると余りは１だし、だから、x^4-1=0 という式を満たす。」

「正解。さらに、x^4-1=0、y^4-1=0 を満たす x,y のうち、つまり、{1,2,3,4} のうち、」

(x+y)(x^2+y^2)=0

「を満たすものは、x と y が異なる場合だけだ。」

「確かに、例えば、x=1、y=2のとき、」

(1+2)(1^2+2^2)=3*5=15≡0 (mod 5)

「だし、逆に xとyが等しいとき、例えば、 x=y=1 のとき、」

(1+1)(1^2+1^2)=2*2=4

「で、０になってないな。」

「要約。今の議論をまとめると次のようになる。」

F_5 の連立方程式

x^4-1=0

y^4-1=0

(x+y)(x^2+y^2)=0

の解が存在する。

⇔

東京と千葉は、４色で塗り分けられる。

「おおー！」

「すなわち。複素数での四色の判定は、F_5 で考えても判定できるってこと、だ。」

ここで、俺には、２つの疑問が浮かんだ。

Case. 1 「……でも、これって何のメリットがあるんだ？」

Case. 2 「……これって、四色じゃなくて、一般の n色でも考えられるのか？」

本当は、四色問題の話ではなくて、導来 圏の対策をしたいところだが、この状態の南條にブレーキをかけるのは、至難の技だろう。

そうなれば、逆に、南條の知的好奇心が満たされるまで、付き合ってやるというのが、友達というものだ。

導来対策会議は、それが終わってからすればいい。

では、どちらの質問が、選択肢が、この場合、ふさわしいだろうか？

うーん。迷う。

そうだ、こういう時は、ランダムネスだ。

コインを投げて、表だったらCase. 1、裏だったらCase. 2 を選択しよう。

この場合、それぞれ1/2の確率でどちらか決まるわけだが、量子学的には、２つの世界が重なり合っている状態になるのだろうか。

そもそも俺は、量子力学を勉強したことがないので、ドラマとかで出てくる印象でしか知らない。

まあ、難しいことは置いといて、とりあえず十円玉を宙に投げた。

手の甲で受け止め、コインの面を確認する。

なるほど。{表,裏}か。

確かに、こっちの質問の方が、この場合、ふさわしいかもしれない。

いや、むしろこれ以外ありえないだろう。

さすが、神様、まじ神ってる。

自信たっぷりに俺は、Case. {1,2} を選択した。