最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。

第3話

『地図と多項式』

小学校からの帰り道は、やたらと喉が渇く。

オレは、コンビニの駐車場で炭酸を飲んでいた。

都会の中の田舎なこの街では、コンビニはほとんど至る所に配置されている。

平日の午後４時、そこまで人は多くないが、車の中で寝ているサラリーマンや、立ち読みしているおっさんなどが、ちらほらと見える。

彼らは、ただ存在しているだけで、それ以上の意味なんて、何にも持たない。

例えば、ランドセルを背負った小学生が、コンビニの前で、堂々買い食いをしていても、注意するものなど誰もいないし、いたとしても、知らない消防に話しかけるやつなんて、今の世の中みんな不審者だ。

くそみたいな世の中だが、炭酸だけはいつもシュワシュワしている。

それだけが、オレにとっての唯一の救いだ。

オレは、なぜか妹のことを思い出して、例のアレでも買っていこうと、コンビニに入る。

基本的になんでも食べる妹だが、これは、格別美味しそうに飲む。

会計を済ませ、レジ袋を下げて自動ドアを通ると、突然、目の前が真っ暗になった。

気がつくと、オレは、壁際で複数人に囲まれていた。

「オマエ、ナニ買い食いしてんだよ」

リーダー格らしき男が、オレに強く話しかける。

確か、６年生のタジマだ。

「あ？あ？あ？」

タジマの子分らしきヤツが、おそらく本人はタジマと対等だと思っているヤツが、たぶん威嚇のつもりで、オレに向かって、あ？を連呼している。

オレが、それにビビって声すら出ないと思っているのか、他の連中は、ヘラヘラと笑っている。

バカなやつらだ。

「ナニ買ったのか、見せてみろよ」

タジマはそう言って、トリマキにオレの荷物を取り上げさせる。

オレは、こんなバカなやつらを相手にする理由もないので、素直に渡してやる。

「見ろよ！このタンサン、最近出た『デプシ なす味』だぜ！！」

「ハ！くそまずいってヤツだろ！！」

「こいつミカクがおかしいんじゃねーの！」

ケっ。オレの味覚がおかしいなら、オマエらがおかしいのは、頭だろ。

バカなやつらめ。

「なんだこれ？」

ランドセルの中を探っていたヤツが、何かを見つける。

しまった。

「エンロンのキソだってよ！なんだよエンロンって！エロ！エロ本だ！」

気安くオレのマックレーンに触るんじゃねえ。

返せ。返せ。

「おい、コレどこまで飛ぶか、みんなで投げてみようぜ！」

ヤツらの一人が、近くの小川を指さして、そう提案する。

オレは、もう頭ん中がいっぱいになって、できるだけ腹に力を込めて言った。

「や、やめろよ」

オレの言葉に、タジマが、こちらを振り向いた。

タジマの顔は、にっこりと笑っていた。

家に帰ると、妹は、座布団の上で小さくなって寝ていた。

オレは、密かに救急箱の中から、絆創膏とガーゼを取り出して、擦りむいた腕と膝に貼った。

炭酸は、すっかり二酸化炭素を放出しきっていたが、それでも口の中でシュワシュワと沁みた。

カサカサという音に、横を見ると、いつの間にか妹は起きていて、オレの隣でレジ袋をあさっていた。

オレは、土ぼこりをしっかりと払って、買った牛乳を底の浅いコップに注いだ。

妹は、目の色を変え、喜んでゴクゴクと飲んでいる。

オレは、妹のふわふわな頭を、できるだけ優しく撫でた。

***

妹が、ミルクティーを美味しそうに飲んでいる。

紅茶セットと聞いた時には、紅茶なんて苦いもの、環奈が飲めるのか気になったが、確かにミルクティーも紅茶だった。

「それで、準備は終わったの？」

妹が、カップを下ろして、俺に尋ねた。

「ああ、今終わったところだ。」

俺は、数式処理ソフトの起動が完了し、テーブルのパソコンを環奈でも見える位置に置いた。

「さて、グレブナー基底は、『多項式の計算』ができる『魔法の道具』だった。この前、『代数的数（ピタゴラ数）』を計算するため、『多項式』に変換したように、今回も、『地図』を『多項式』に変換する必要がある。」

「地図を？多項式に？」

「ああ。厳密には、地図の位置関係だ。」

「位置？」

全然、イメージがつかめていない妹に、具体例で説明をする。

「今まで考えてきた『塗り分け問題』で、重要だったのは、それぞれの都道府県の位置関係だったんだ。例えば、」

東京　千葉

神奈川

「だったら、『東京は神奈川と千葉に接していて、神奈川と千葉は接していない』という情報こそが大事だった。それだけわかれば、東京がどんな形でも、塗り分けには影響しない。」

「なるへそ。どことどこがお隣さんかが大事ってことだね。」

「そう。それじゃあ、まず、それぞれの都道府県を変数で表してみよう。」

東京… x

千葉… y

神奈川… z

「東京と変数 x、千葉を変数 y、神奈川を変数 z に対応させる。」

「この変数には、何か意味があるの？」

「いや、適当に x、y、z を置いただけで、a、b、c でもx_1、x_2、x_3 でも何でもいい。千葉が y に対応したのは、千葉県のYさんとは何ら関係はない。」

「Yさん？」

「いや、知らないならいいんだ。もう最終回を迎えてしまったし。」

「？？」

「と、とにかく、今から、これらの変数に、多項式で『色』をつけていこうと思う。」

「え、色！？」

多項式と色、普段あまり聞かないような組み合わせに、妹は素直に驚く。

「厳密に言うと、色の代わりに『数字』を対応させるんだ。俺たちが塗り分ける色は、赤、青、黄色、緑だった。まず、赤には、１、青には、−１を対応させる。」

赤… 1

青… -1

黄

緑

「ふーむ？」

「とりあえず、わからなくてもなんとなく聞いていてほしい。そして、黄色には、i を対応させる。」

「愛？」

赤… 1

青… -1

黄… i

緑

「i とは虚数 i、つまり、二乗すると、-1になる数だ。」

「うへー。」

「どうした？」

「だって、二乗して−１になる数なんて、あるわけないじゃん。だから、キョスーとかって、意味わかんないんだよね。」

「まあ、そういうもんなんだって、形式的に理解してれば十分だと思うよ。例えば、√2は、二乗して 2 になる数、つまり、方程式」

x^2-2=0

「を満たす数だったろ？ i も同じように、方程式」

x^2+1=0

「を満たす数ってことだ。」

「うーん。」

「まあ、直に慣れるさ。」

「…わかった。」

「…話を戻そう。最後に、緑には、-i を対応させる。つまり、i をマイナス倍したものだ。」

赤… 1

青… -1

黄… i

緑… -i

「これで、４つの色に、それぞれ４つの数が対応した。」

「それで、これが何になるの？」

「それを、今からゲームを確認してみよう。」

「ゲーム？」

「題して、『共通点は、なんでしょな？』ゲーム！！パフパフ！！」

虚数に軽い拒絶反応を示す妹に、楽しく学んでもらうため、俺は、ゲームで場を盛り上げる作戦に出た。

こう見えて、場を盛り上げるのは得意なんだ。

「さあ、これから、環奈には、1、-1、i、-i の４つの数の『共通点』を探してもらいます！ルールは簡単！なんと、共通点を探すだけ！！制限時間は５分！それでは、シンキングタイム、スタート！！」

我ながら、場の盛り上げ方がうまい。

これぞ合コンで培ったテクニックである。

「……お兄ちゃん…いい年して恥ずかしくないの？」

正直、恥ずかしい。

「はは、こう見えて、お兄ちゃんは大学ではムードメーカー的存在だからね。慣れっこさ。」

「……へー……そうなんだ…」

また無駄な嘘をついてしまった。

「と、とにかく！ 1、-1、i、-i の共通点を探して欲しいんだ！」

地引網のように無理やり話を引き戻す。

こう脱線してばかりではいけない。

「共通点って言っても、みんなバラバラの数じゃない？」

妹が率直な意見をつぶやく。

「それじゃあ、ヒントを出そう。それぞれの数を二乗してみて欲しい。」

俺は、妹にノートとペンを渡した。

1

-1

i

-i

妹は、４つの数字を縦に並べた。

「えーと、まず、1の二乗は、1でしょ？そして、-1の二乗も1。i の二乗は…… -1 ？だっけ。じゃあ、-i の二乗は 1？」

1 → 1

-1 → 1

i → -1

-i → 1

「惜しい。-i の二乗は -1 だ。」

「え、なんで？」

「-i は -1 × i だろ？つまり、-i の二乗は、-1 の二乗と i の二乗を掛け合わせたものだ。だから、」

(-i)^2=(-1)^2×(i)^2=1×(-1)=-1

「となって、-1が正しい。」

「あーなるほど。じゃあ、」

1 → 1

-1 → 1

i → -1

-i → -1

「が正しい答えってことだね！」

ペンを受け渡す時、俺の手と妹の手が軽く触れ、一瞬ドキッとしたが、環奈は特に気にしていない様子だった。

例の事件（胸の柔らかさと二の腕の柔らかさは同じ事件）以降、妹との体の接触は避けてきたのだが、俺の方が少し過敏になりすぎているのかもしれない。

「それで、これがどうしたの？まだバラバラだよね？」

「この新しくできた４つの数を、さらに二乗してみてくれ。」

「わかった。えーと、、、１を二乗して、１。-1を二乗して 1 だから、、、」

1 → 1 → 1

-1 → 1 → 1

i → -1 → 1

-i → -1 → 1

「あ！全部１になった！！！」

「そう、1、-1、i、-i の共通点は、二乗の二乗が１、つまり、『４乗すると、1になる数』だったのだ！」

「おー！」

妹が、ちょっと乗ってくれたので、ちょっと嬉しかった。

「これを多項式で表すと、」

x=1, -1, i, -i ⇔ x^4-1=0

「となる。すなわち、1、-1、i、-i という４つの数は、赤、青、黄色、緑という４つの色は、x^4-1 という多項式で表現できる。」

「ほへー。」

「では、これから、これを地図と結びつけていこう。」

東京　千葉

「まずは、単純に、東京と、千葉との関係だけを考える。」

「ふむ。」

「今やってきたように、東京の変数は xで、千葉の変数は y で、赤、青、黄色、緑どれかの色で塗るから、」

x^4-1=0

y^4-1=0

「という式が成立する。」

「んん？？なんか変な感じ。」

「わかりやすくいうと、」

x= 1 ⇔ 東京が赤

x=-1 ⇔ 東京が青

x= i ⇔ 東京が黄色

x=-i ⇔ 東京が緑

y= 1 ⇔ 千葉が赤

y=-1 ⇔ 千葉が青

y= i ⇔ 千葉が黄色

y=-i ⇔ 千葉が緑

「という感じで、それぞれ、xとyという変数を使って、東京と千葉の色の状態を表しているって言った方がわかりやすいかな。」

「あー、なんとなくわかったかも。」

「よし。それじゃあ、『東京と千葉が違う色』であることを多項式で表現してみよう。」

・東京が赤、千葉が青

・東京が赤、千葉が黄色

・東京が赤、千葉が緑

・東京が青、千葉が赤

・東京が青、千葉が黄色

・東京が青、千葉が緑

・東京が黄色、千葉が赤

・東京が黄色、千葉が青

・東京が黄色、千葉が緑

・東京が緑、千葉が赤

・東京が緑、千葉が青

・東京が緑、千葉が黄色

「このように、東京と千葉の色が違うパターンというのは、全部で１２パターンある。」

「なんか、組み合わせって感じだね。」

「そうだね。これをで x,y の式でそれぞれ表すと、」

・x=1、y=-1

・x=1、y=i

・x=1、y=-i

・x=-1、y=1

・x=-1、y=i

・x=-1、y=-i

・x=i、y=1

・x=i、y=-1

・x=i、y=-i

・x=-i、y=1

・x=-i、y=-1

・x=-i、y=i

「という感じになる。」

「うへー。すごい もじゃもじゃしてる……」

「そう、これだとすごい もじゃもじゃしてるから、もっと簡単な式でまとめたい。」

「そんなことできるの？」

「実は、一本の式でまとめられるんだ。」

「え！」

環奈は、驚いた顔で口を開けている。

もじゃもじゃが、もじゃもじゃしなくなるんだから、驚いても不思議ではない。

「逆転の発想をしてみるんだ。」

「逆転？」

「ああ。『色が違う』というのは、『色が同じじゃない』ということだ。」

「それって。同じ意味じゃない？」

「そう。さっき、色が違うパターンが１２パターンあった。実は、これは、そもそもすべてのパターンの数は、4色×4色の16パターンあって、そこから、同じ色のパターン、つまり、赤×赤、青×青、黄色×黄色、緑×緑の４つのパターンを抜いたから、違う色のパターンは、16-4=12 パターンだったんだ。」

「お、おおん。」

「ちょっと、複雑に言っちゃったけど、つまりは、全部のパターンから、同じ色のパターンだけ、抜けばいいってことさ！」

環奈の理解が追いつくように、具体的にその多項式を探ってみる。

x^4-1=0

y^4-1=0

「これを見て欲しい。これは、xとyに、東京と千葉に、それぞれ４色の色のどれかが与えられてるって意味だった。ここまではいいかな？」

「あ、うん。もし、x=1、y=-1 だったら、東京が赤、千葉が青ってことだよね？」

「その通り。今、この２つ式には、色のすべての組み合わせ、すなわち、全部で１６パターンの組み合わせが詰まっている。」

「うん。」

「ここから、同じ色のパターン、４パターンだけを除外する。」

「そんなことできるの？」

「まあ、見ていてくれ。まず、上の式 x^4-1 から、下の式 y^4-1 を引く。すると、」

(x^4-1)-(y^4-1)=x^4-y^4

「という式が出てくる。」

「そうだね。」

「上の式も、下の式も０だったから、これももちろん、」

x^4-y^4=0

「=０だ。」

「ふむふむ。」

「この x^4-y^4 を因数分解すると、」

x^4-y^4=(x+y)(x-y)(x^2+y^2)

「という式に分解できる。」

「え、ほんと？」

「ゆっくり考えてみよう。」

X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)

「という公式は知ってる？」

「あ、うん。授業でやった。」

「これを、x^4-y^4 にも使うんだ。最初に、x^4=(x^2)^2、y^4=(y^2)^2 だから、」

x^4-y^4=(x^2)^2-(y^2)^2

「が言えて、X=x^2、Y=y^2 とみて、これにさっきの公式を使うと、」

(x^2)^2-(y^2)^2=(x^2+y^2)(x^2-y^2)

「となるから、x^2-y^2 にもう一回公式を使って、(x^2-y^2)=(x+y)(x-y) だから、」

(x^2+y^2)(x^2-y^2)=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)

「が出てきて、順番を少し入れ替えれば、」

x^4-y^4=(x+y)(x-y)(x^2+y^2)

「が示せた。」

「おーなるほど！」

ついついやってしまったが、因数分解くらいだったら、妹にやらせてもよかったかもしれない。

可愛い子には、因数分解させろ、だ。

「それで？何をここから抜き出すの？」

「因数分解で出てきた、３つの式、x+y、x-y、x^2+y^2 の中で、xとyが同じ、つまり、東京と千葉が同じ色であることを意味しているのは、どれかな？」

「えー？……… x+y？」

「よく考えて見て欲しい。xとyが同じというのは、x=y ということだ。右辺の y を左辺に移項させれば…」

「あ！x-y か！」

俺は、x^4-y^4=(x+y)(x-y)(x^2+y^2) の右辺から、x-y を取り除いた式、

(x+y)(x^2+y^2)=0

をノートに書いた。

「実はこれが、『東京と千葉が違う色』を表す式なんだ。」

「え、そうなの？」

「じゃあ、実際に試してみよう。」

・東京が赤、千葉が青　⇔ x=1、y=-1

・東京が赤、千葉が黄色 ⇔ x=1、y=i

・東京が赤、千葉が緑 ⇔ x=1、y=-i

・東京が青、千葉が赤 ⇔ x=-1、y=1

・東京が青、千葉が黄色 ⇔ x=-1、y=i

・東京が青、千葉が緑 ⇔ x=-1、y=-i

・東京が黄色、千葉が赤 ⇔ x=i、y=1

・東京が黄色、千葉が青 ⇔ x=i、y=-1

・東京が黄色、千葉が緑 ⇔ x=i、y=-i

・東京が緑、千葉が赤 ⇔ x=-i、y=1

・東京が緑、千葉が青 ⇔ x=-i、y=-1

・東京が緑、千葉が黄色 ⇔ x=-i、y=i

「が東京と千葉の色が違うすべてのパターンだった。何か一つ好きなのを選んでみて。」

「えーと、じゃあ、」

東京が緑、千葉が赤 ⇔ x=-i、y=1

「でいい？」

「この x=-i、y=1 をさっきの (x+y)(x^2+y^2) に代入してみて。」

「え、うんと、」

x+y=(-i)+1=-i+1

x^2+y^2=(-i)^2+(1)^2=-1+1=0

「だから、」

(x+y)(x^2+y^2)=(-i+1)×0=0

「あ！０になってる！」

「その通り。他の、違う色のパターンの値を代入しても０になる。そして、重要なのは、xとyが等しいものを代入しても、決して０にならないことなんだ。例えば…」

「例えば、x=iとy=i を代入してみるね！」

すっかり、具体例を考える癖がついてきたみたいで、自然と妹の方から計算を始めた。

『例示は理解の試金石』って誰かが言ってた気がするけど、まさにそんな感じって感じだ。

「…まず、x+y=i+i=2i で、こっちは、x^2+y^2=(i)^2+(i)^2=(-1)+(-1)=-2 だから、」

(x+y)(x^2+y^2)=2i×(-2)=-4i

「確かに、０になっていないね！お兄ちゃんっ！」

妹が嬉しそうにこちらを向きながら言う。

やっぱり、人から説明されて納得するのと、自分で実際に計算してみて納得するのとでは、嬉しさが違うのだろう。

「つまり、次の主張が成り立つ。」

東京と千葉が同じ色 ⇔ x-y=0

東京と千葉が違う色 ⇔ (x+y)(x^2+y^2)=0

「これで、役者はそろった。」

「役者？」

「そう。後は、これらの役者（多項式）をまとめて舞台を作る、プロデューサーが必要だ。」

「おお！プロデューサー！」

「その通り。実は、お兄ちゃんもプロデューサーで、美波ちゃんPなんだが、今回は、関係ない。」

「美波ちゃんP…？」

「ごほん。多項式をまとめる真のプロデューサーの名前は……」

ごくん。妹が、息を飲む。

ボブ・ディランの曲が、店内のBGMで流れている。

「連立方程式だ。」